本篇为对《金融经济学二十五讲》- 徐高 - Bilibili 的学习笔记。

Some Basic Notes

$E(X) = \sum\limits_k kP(X=k)$ 指随机变量的期望值；

而 $X,Y$ 独立时，$P_{ij}=P_iP_j$，故 $E(X+Y)=\sum\sum(X_i+Y_i)P_{xy}=\sum\sum(X_i+Y_i)P_xP_y=E(X)+E(Y)$。

 

方差：某个随机变量各个维度偏离其均值的总体反映程度。

​ $var(X)={\sum\limits_1^n(X_i-\bar{X})^2\over n-1} = E[(X-E[X])^2]$

​ 平方：消除偏离正负的影响

标准差：$\rho_X=\sqrt{var(X)}$

​ 开方：还原量级。

协方差：用来度量两个随机变量关系的统计量（与方差对应）

​ $cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]$，意即：[各个维度偏离其均值的程度]的期望。

​ 如果协方差为正，说明X，Y同向变化，协方差越大说明同向程度越高；如果协方差为负，说明X，Y反向运动，协方差越小说明反向程度越高。

 

​ 协方差只能度量两个变量间的关系，但如果要刻画多个随机变量间的相关性，简单地，容易想到配对所有的协方差。为了更好地描述，提出了协方差矩阵。

​ 协方差矩阵：$C_{n×n}=(c_{ij},c_{ij}=cov(X_i,X_j))$（$X=(X_1,…,X_n)^T$）

https://www.zhihu.com/question/24283387/answer/523794714

​ 对 $X$ 这个矩阵，也是有期望所在的：$\mu=E(X)$，同样我们可以得到：$E((X-\mu)(X-\mu)^T)=E(XX^T)-\mu\mu^T$，这个期望矩阵恰好就是我们所提到的协方差矩阵。

​ 又因为 $cov(X,Y)=cov(Y,X)$，故 $C_{n×n}$ 为一对角的正定矩阵，且对角线上的元素即为 $var(X_i)$。

​ …

 

对于两个随机变量，其量纲不同常会对协方差造成影响，又由于随机变量的取值范围不同，两个协方差（如 $cov(X,Y),cov(X,Z)$）不能直接作比。故提出相关系数的概念。

相关系数：剔除变量量纲影响，归一化后的协方差（$\rho\in [-1, 1]$）

https://www.zhihu.com/question/20852004/answer/134902061，GA。

​ $\rho = {cov(X,Y)\over \rho_X·\rho_Y}=E[{X-E(X)\over \rho_X}·{Y-E(Y)\over \rho_Y}]$

​ 反应两个变量每单位变化时的情况，更好地比较变量间变化趋势的相似程度。

 

？感性：最优线性预测系数 $A={cov(X,Y)\over \sigma_X^2}=\rho·{\sigma_Y\over \sigma_X}$，若 $X,Y$ 完美相关，则Y是X的几倍，Y的标准差就应该也是X的标准差的几倍。但X和Y实际上相关系数只有$\rho$，Y的标准差中与X相关的就只有$\rho$这么多，那就用它打个折扣吧。

 

特征值：满足 $A\textbf{x}=\lambda \textbf{x}$ 的标量 $\lambda$。

 

确定性的收益才是我们追求的。

 

合约的作用：

 

以风险指代方差，则在其他条件相同时，一个组合中资产的相关系数越高，风险越大。

风险又分为两部分：系统性风险（整个市场）、非系统性风险（某个领域）。

故我们可以知道，分散行业进行投资，可以降低风险（方差）。

 

 

分析方法

均衡定价（绝对定价）

从风险、行为、供需关系入手定价，从无（假设）到有（结论）进行定价。

无套利定价（相对定价）

核心：复制（Replication）

套利：无风险利润，对”一价定律”的违背；

期权：一种合约，在特定日前前，可以以固定价格购入该合约

金融摩擦

期限错配：

 

行为金融

两大核心：非理性、套利。

 

均衡定价

复利

设每年利率 $r$，一年计息 $m$ 次，则 $n$ 年期后 $A(1+{r\over m})^{n·m}$。当 m -> infty，有 $Ae^{nr}$（连续复利）。

SML,CML

 

如何确定贴现率 $r$？学习 CAPM 后，可以用之对一个公司进行贴现率的确定。

 

均值-方差分析

基于均衡定价方法

对无风险和一个风险组合的组合： $r_p=(1-w,w)·(r_f,r_s)$，则：

$E(r_p)=\bar{r_p}=r_f+w(\bar{r_s}-r_f);D(r_p)=\sigma^2_p=w^2\sigma_s^2$，

也即：$w={\sigma_p\over \sigma_s}$，则 $\bar{r_p}=r_f+{\bar{r_s}-r_f\over \sigma_s}\sigma_p$，

这条线就叫做 无风险资产和风险资产的组合线，刻画了组合 $r_p$ 的期望收益率与方差（风险）的关系。

而两个风险组合 $r_p=(w,1-w)·(\tilde{r_1},\tilde{r_2})$ 的指标如下：

$\bar{r_p}=w\bar{r_1}+(1-w)\bar{r_2};\ \sigma_p^2=w^2\sigma_1^2+(1-w)^2\sigma_2^2+2w(1-w)\sigma_{12}$。

用 $\sigma$ 代换 $w$，则对于两组合资产的组合曲线，其为一条如下图所示的曲线：

Exp-Var

其中白点处即为最小方差组合（此处也再次说明，组合投资可以分散风险）。

（三种资产组合及以上，组合曲线变为一个面）

总的来说：

设资产收益率为 $R_i$，则投资组合 $p$ 的收益率为 $R_p=\sum\limits_{i=1}^N \omega_iR_i,\sum\limits_{i=1}^N\omega_i = 1$，其中 $\omega$ 指投资比例。

期望收益率：$\bar{R_p}=E(R_p)=\sum\limits_{i=1}^N\omega_iE(R_i)$；

方差： $\sigma^2(R_p)=\sigma^2(\sum\limits_{i=1}^N\omega_iR_i)=\sum\limits_{i=1}^N \omega_i^2\sigma^2(R_i)+\sum\limits_{i\ne j}\omega_i\omega_j\sigma(R_i,R_j)$

资本资产定价模型（CAPM, Capital Asset Pricing Model）

CAPM 从定价开始，推导出了人的行为、投资组合，最后又导出了定价。（均衡分析，互为因果）

 

 

局限性

 

C-CAPM

期望效用、不确定性下的决策。

前提

C-CAPM

 

期望效用（Expected Utility）

对不确定性状况下的表现优良

简单彩票模型

$\mathcal{L}$（space of (simle) lotterie)：$(p_1,…,p_N),p_i\ge 0,\sum\limits_{i=1}^Np_i=1$。

不同的彩票包含不同的概率状态（消费束）：如 $L_1 = (0.5,0.5)·(A,B)$。

（复杂彩票可以转换为简单彩票模型）

独立性公理（IA, Independence Axiom）

$A,B,C\in \mathcal{L},\forall \alpha \in (0,1)$，有 $A\succeq B \Leftrightarrow \alpha A+(1-\alpha)C \succeq \alpha B + (1-\alpha )C$。

期望效用定理

对于定义在 $\mathcal{L}$ 上的偏好 $\succeq$，满足理性偏好、连续偏好及独立性公理，则效用 $U(L)=\sum\limits_{i=1}^N p_iu(x_i)$。

风险厌恶的衡量，对应到 U-c 图像上，即与边际效用下降速度有关，下降速度越快，对不确定性厌恶越大。（在 c 处，同样失去 c’: Δ 和得到 c’: Δ，效用的减少量大于增加量）

风险厌恶估测

此处设效用 $u(y)=\pi u(y+h) + (1-\pi)u(y-h),h>0$，对 $\pi ^{}$ 而言，在 $y$ 处经二阶泰勒展开后可以得到：$\pi^={1\over 2}+{h\over 4}[-{u^{‘’}(y)\over u’(y)}]$；

若用 $\theta y$ 替代 $h$，则有 $\pi^*={1\over 2}+{\theta\over 4}[-{yu^{‘’}(y)\over u’(y)}]$，则有：

可以得到一个结论：风险规避系数越高，越厌恶风险，简单地可以说是边际效用下降得越快。

特殊的效用函数

 

风险资产相关

 

资产市场相关

设（从 0 期到 1 期）有 $\mathcal{S}$ 种状态数 $\Pi_s$，有回报率向量 $\tilde{r}=(r_1,…,r_\mathcal{S})^T$;

记资产零期价格：$\mathbb{P}=[p_1,…,p_J]$；

对资产 $j,1\le j \le J$，资产向量：$\mathbb{X}^j=( X_1^j,…,X_{\mathcal{S} }^j)^T$ 表示某个资产在所有状态下的支付（数量？总之并不代表价格），则定义资产市场的支付矩阵（payoff matrix）为 $\mathbb{X} = \left\begin{matrix} \mathbb{X^1},\mathbb{X^2},\cdots,\mathbb{X^J}\end{matrix}\right$；

记资产组合 $\Theta=(\theta_1,…,\theta_J)^T$，则组合的零期价格为 $\mathbb{P}\Theta$，支付矩阵为 $\mathbb{X}\Theta$

则提出资产定价问题：$\mathbb{X}\rightarrow \mathbb{P}$

 

 

 

完备市场中的一般均衡

 

市场均衡时，所有人消费的波动 只与全市场的禀赋波动有关（正相关），而与自己的禀赋波动无关；此时给定 $s,s’$，若 $c_s>c_{s’}$，则 $\forall k,c_{k_s}>c_{k_{s’ } }$。

威尔逊定理：设绝对风险容忍度 $T(c)={1\over R_A(c)}=-{u’(c)\over u^{‘’}(c)}$，则 ${dc_{ks}\over de_s} = {T_k(c_{ks})\over \sum\limits_{k=1}^K T_k(c_{ks})}$。

代表性消费者：若效用函数为 HARA（抛物线型），完备市场中可认为只有一个消费者 $c=\sum_k c_k$（完全正相关）。

随机折现因子（SDF, Stochastic Discount Factor）：$\tilde{m} = \delta{u’(\tilde{c_1})\over u’(c_0)}$

C-CAPM：

 

无套利定价

给出资产价格信息进行分析，相对定价。

只要市场无套利，则有线性关系式（线性因子模型）。

套利资产定价理论（APT, Arbitrage Pricing Theory）

只通过无套利定价去分析（因子模型，一价理论）

单因子模型：$\tilde{r_i}-r_f=\alpha_i + \beta_{i,M}(\tilde{r_M}-r_f)+\tilde{\epsilon_i}$（对应 SML 的计量模型）

Fama-Franch 三因子模型

$\tilde{r}i-r{f}=\alpha_i + \beta_{i,M}(\tilde{r}M-r{f})+\beta_{is}\widetilde{SMB}t+\beta{ih}\widetilde{HML}+\tilde{\epsilon_i}$

 

 

$\tilde{r_i}=\bar{r_i}+\sum\limits_{k=1}^K \beta_{i,k}\tilde{f_k}+\tilde{\epsilon_i},i=1,…,N»k$

假设 $E[\tilde{f_k^2}]=1,E[\tilde{\epsilon_i^2}]=\sigma_\epsilon^2<+\infty,E[\tilde{f_k}\tilde{f_{k’} }]=E[\tilde{\epsilon_i}\tilde{\epsilon_j}]=E[\tilde{f_k}\tilde{\epsilon_i}]=0$。

则构造资产组合 $\tilde{r_p}=\sum\limits_{i=1}^N w_i\tilde{r_i}$，展开之可以观测到每个因子的影响。

统计套利

（不是套利，算是抄底？（笑））

根据例如说 $\tilde{r_0}-r_f=\alpha_0 + \sum\limits_{n=1}^N\beta_n \tilde{f_n}+\tilde{\epsilon_0}$ 这样的式子预测，若过去一段时间的实际收益率更低，则根据均值回归理论，未来的实际收益率会更高。

 

远期

期货（futures）：标准的远期合约

 

期权：一种权利。

普通期权

零和游戏

 

butterfly

此外，还有奇异期权（Exotic Options）。

 

单期二叉树模型

给定两种状态的可能性 $p, 1-p$ 及支付矩阵如下（其中股票使用乘性因子而非加性是为了避免负数）： \(\left[\begin{matrix} Stock&Bond&Derivative\\ uS_0&e^r &C_u\\ dS_0&e^r&C_d\end{matrix}\right]\) 对 $[S_0,1,C_0]$，要求定价 $C_0$（基于无套利）。

方法 1：风险消除法定价

对 (Stock, Derivative) 确定无风险组合 $\Pi=(-\Delta, 1)$，则 $\Pi_0 = C_0 - \Delta S_0$，$\left{\begin{matrix}\Pi_u = C_u - \Delta u S_0\ \Pi_d = C_d - \Delta d S_0\end{matrix}\right .$。

有条件一： $\Pi_u=\Pi_d$，显然此刻也有条件二：$\Pi_u=\Pi_0 e^r$，由此方满足无套利定价。

$\Delta = {C_u-C_d\over (u-d)S_0}=\frac{\partial C}{\partial S}$。

方法 2：复制法定价

对 (Stock, Bond) 确定组合 $(\Delta, B)$，以复制出 Derivative 的价格，则 $C_0=\Delta S_0+B$，详细推导过程不表，跟法 1 类似。

方法 3：风险中性定价

现在假设两种情况 $(u,d)$ 的概率为 $(q, 1- q)$，则对 $S_0=e^{-r}E[\tilde{S_1}]$ 贴现求出 $q$，再带入 $C_0=e^{-r}E^Q[\tilde{C}]$ 即可。

这三种方法均可求得 $C_0=e^{-r}[{e^r-d\over u-d}C_u+{u-e^r\over u-d} C_d]$，其中 $C_u,C_d$ 系数之和为 1，我们称之为风险中性期望 $E^Q[\tilde{C}]$。

 

 

 

 

资产定价基本定理

当且仅当存在状态价格向量，市场无套利。

第二资产定价基本定理

在完备市场中，无套利等价于存在唯一的状态价格向量（，也就存在风险中性概率）。

 

风险中性定价

因为无套利的前提，故风险中性定价有其合理性。

对无风险资产折现得到，$e^{-r}=\sum \phi_s·1=\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} \phi_s$，由此我们定义风险中性概率 $q_s=\frac{\phi_s}{\sum \phi_s}=e^r\phi_s,\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S}=1$。

则风险中性定价：$p=\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} \phi_s X_s=e^{-r}\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} q_sX_s=e^{-r}E^Q[\tilde{X}]$。

一般，通过已知资产价格算出风险中性概率 q，再进行未知资产的定价。

 

 

 

最优停时

不分红的 Call，不行权最好。

由期权部分，我们有 $C+Ke^{-rT}=P+S_0$，于是到 $t$ 时刻，对期权的标的物为不分红股票时，$C_t=(S_t-K)+P_t + K(1-e^{-r(T-t)})$，此时 Call 的价格如前式所示，而当此时卖出（$S_t>K$），收益显然是小于 Call 的价值的（后两项大于 0），这就意味着始终持有是最好的选择。（直观理解，当 $t=0$，显然 $C$ 的价格与 $S_0-K$ 的差异有正相关性（？一开始不买会不会更好））

美式期权

由于 Call 随时可行权，故此处讨论 Put。按欧式期权的做法，期权定价价格直接以分支的期望价格折现即可；美式期权由于随时可行权，故自最后一期往前，每一期的期权定价为 $P_t=max{,e^{-r}P_{t+1} }$

按揭贷款

Even Principal Payments（等额本金还款）：每月偿还金额逐月递减，其中偿还本金固定不变，偿还利息（随本金减少而）逐月递减；

Even Total Payments（等额本期还款）：每月偿还金额固定不变，其中每月偿还本金逐月增加，每月偿还利息逐月减少。（偿还完利息，多余的金额用作偿还本金）

mortgage

​ 故在 $t$ 时刻，允许提前还款的前提下，该点贷款的价值为 $V_t=\min{B_t,V_t’}$。由上式，提前还款的权利降低了按揭贷款的价值。

 

Black-Scholes Fermula

  1. 独立增量过程，也即：$\forall t_0<t_1<…<t_n,X_{t_0}$，有 $X_{t_1}-X_{t_0},…,X_{t_n}-X_{t_{n-1} }$ 相互独立；

  2. $\forall s,t>0$，$\mathbb{X}(s+t)-\mathbb{X}(s)\sim \phi(0,\sigma^2t)$；

  3. 连续。

    由随机微分，对布朗运动而言，其微分 $dZ_t \sim \sqrt{dt}$，则知，布朗运动处处连续，处处不可导。

    • 带漂移项的布朗运动：$dX_t=udt+\sigma dZ_t$，其中 u 为常数，意即向某固定方向做随机游走；
    • 几何布朗运动：${dS_t\over S_t}=udt+\sigma dZ_t$，其中 $S_t$ 为股价，$u$ 为常数趋势，$\sigma$ 为波动标准差。

 

方法 1：二叉树定价法

通过二叉树定价法，设每期时间趋于 0 的无穷期，最终能推导出 BS 公式。

方法 2：用股票与衍生品建立无风险组合

将股价 $S_t$ 用几何布朗运动表示，储蓄 $B_t$ 满足无风险利率增长 $dB_t=rB_tdt$，设无风险组合（股价 $S_t$ 变动对组合无影响） $(Stock,Derivative)=(\frac{\partial f}{\partial s}, -1)$，则有 $V(t,S_t)=\frac{\partial f}{\partial s}S_t - f(t,S_t)$，对其微分并与 $dV=rVdt$ 联立得到 B-S PDE (partial differential equation)：

$\frac{\partial f}{\partial t}+rS_t\frac{\partial f}{\partial s}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2_t\frac{\partial^2 f}{\partial s^2}=rf$

例如在期权 $t$ 期价格 $C_t=\max{0,S_T-K}$ 约束下可得到 B-S 方程。

方法 3：鞅方法▲

在 EMM (等价鞅测度) 下得到 $S_T=S_0e^{rT}$，又由几何布朗运动等可得到 $S_T=S_0\exp[(u-\frac{1}{2}\sigma^2)T+\sigma\int_{t=0}^T dZ_t]$，算得 $S_T=S_0 e^{uT}$，联立后得到：$logS_T\sim \Phi[(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T,\sigma^2T]$。

与 $E(C_T)=E(\max{0,S_T-K})$ 和 $P $ 联立求期望即可得到最终的 B-S 期权定价公式（欧式）： \(\begin{align*} &C_0=S_0N(d_1)-e^{-rT}KN(d_2)\\ & P_0=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1)\\ \\ \mathrm{where}\ &d_1=\frac{log(S_0/K)+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T} }\\ &d_2=\frac{log(S_0/K)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T} }=d_1-\sigma\sqrt{T}\\ &\mathrm{N}: \mathrm{cumulative\ distribution\ function\ of\ standard\ Normal} \end{align*}\) 故其使用条件为： \(\begin{align*} &\mathrm{Input}:S_0,K,r,T,\sigma\\ &\mathrm{Output}:C_0,P_0 \end{align*}\)

Hedge

通过 Delta Hedge，可以使用股票 $S$ 和无风险资产 $B$ 形成等价于期权 $C/P$ 的组合，使得每一期的现金流恰与期权一致。例如当写期权时，可对之动态对冲。

 

金融摩擦

 

最后几讲笔记会比较简略。

信息对称

Principal（设计合约，信息劣势） - Agent（选择接受与否，信息优势）

contract theory 契约理论

M-M Theorem

阿罗德布鲁市场中，公司价值和其结构无关。

尽管现实市场中存在坏企业，当信息不对称时，市场会出现以下两种情况：坏企业太多，市场崩溃；坏企业较少，投资的期望由好企业向坏企业进行了隐性的”补贴”(cross-subsidization)。

啄序理论

公司筹资的顺序：内部筹资、债券筹资、股票筹资。因为这样不会传递对公司股价产生不利影响的消息。（股票的信息含量是最大的）

 

期限错配

资产端期限和负债端期限不匹配，主要表现为”短存长贷”：资金来源主要是短期信贷，但资金流向却是（高收益的）长期贷款。

金融中介

简而言之即银行。

银行的功能所在：通过承担期限错配的风险，为储蓄者提供期限转换的服务。

具体解释如下，分析以下理想的资产案例：

Time 0 1 2
short(c1) 1 1 1
long(c2) 1 -> R(>1)

设效用函数 $U(c_1,c_2)=\left{\begin{matrix}u(c_1),P_1=\lambda\ u(c_2),P_2=1-\lambda \end{matrix}\right .$，其中概率为此人为 short/long investor 的概率。

则期望效用 $E(U)=\lambda u(c_1) + (1-\lambda) u(c_2)$。

设资产分配比例为 $(\theta, 1-\theta)$，则分三种情况进行讨论：

  1. Autarky（自给自足）

    $E(U)=\lambda u(\theta)+(1-\lambda)u(\theta+(1-\theta)R)$

    求导得当 $\lambda u’(c_1)=(1-\lambda)(R-1)u’(c_2)$，有此刻的最大化效用 $E(U^{ATK})$。

    此时效用为保留效用，是无论如何都能达到的最大效用，故为下限。

  2. Market

    此时 1 期时资产可交易。

    设 1 期的长期资产价格 $P=1$（不等于 1 时易推出矛盾），易得 $c_1^{MKT}=1,c_2^{MKT}=R$。

  3. C.P.（仁慈的中央计划者）

    设该 C.P. 知道所有人（$N$ 足够大）的 short/long probability，则秉承不浪费资源、最大化效用的原则，有以下约束条件：$\left{ \begin{matrix}\lambda Nc_1=\theta N\(1-\lambda)Nc_2=(1-\theta)NR \end{matrix}\right.$，带回原式并求导得 $u’(c_1^{BST})=Ru’(c_2^{BST})$ 时有最大效用 $E(U^{BST})$。

    （此时的足够大可看作投资可无限可分的一个人）

三种情况的效用图如下：

mortgage

而银行在理想情况下正如 BST 情形，与无差异曲线相切时提供了最大效用。

 

影子银行

无严格监管、完善风控机制的银行业务，易发生银行挤兑，使金融市场出现问题。

此外，影子银行易采取高杠杆进一步加大风险。

 

 

 

结语

理论永远是理论，真实有效的市场远不止理性人假设。

跳出框架，才能够体会到市场的真实。