本篇为对《金融经济学二十五讲》- 徐高 - Bilibili 的学习笔记。
Some Basic Notes
$E(X) = \sum\limits_k kP(X=k)$ 指随机变量的期望值;
而 $X,Y$ 独立时,$P_{ij}=P_iP_j$,故 $E(X+Y)=\sum\sum(X_i+Y_i)P_{xy}=\sum\sum(X_i+Y_i)P_xP_y=E(X)+E(Y)$。
方差:某个随机变量各个维度偏离其均值的总体反映程度。
$var(X)={\sum\limits_1^n(X_i-\bar{X})^2\over n-1} = E[(X-E[X])^2]$
平方:消除偏离正负的影响
标准差:$\rho_X=\sqrt{var(X)}$
开方:还原量级。
协方差:用来度量两个随机变量关系的统计量(与方差对应)
$cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]$,意即:[各个维度偏离其均值的程度]的期望。
如果协方差为正,说明X,Y同向变化,协方差越大说明同向程度越高;如果协方差为负,说明X,Y反向运动,协方差越小说明反向程度越高。
协方差只能度量两个变量间的关系,但如果要刻画多个随机变量间的相关性,简单地,容易想到配对所有的协方差。为了更好地描述,提出了协方差矩阵。
协方差矩阵:$C_{n×n}=(c_{ij},c_{ij}=cov(X_i,X_j))$($X=(X_1,…,X_n)^T$)
https://www.zhihu.com/question/24283387/answer/523794714
对 $X$ 这个矩阵,也是有期望所在的:$\mu=E(X)$,同样我们可以得到:$E((X-\mu)(X-\mu)^T)=E(XX^T)-\mu\mu^T$,这个期望矩阵恰好就是我们所提到的协方差矩阵。
又因为 $cov(X,Y)=cov(Y,X)$,故 $C_{n×n}$ 为一对角的正定矩阵,且对角线上的元素即为 $var(X_i)$。
…
对于两个随机变量,其量纲不同常会对协方差造成影响,又由于随机变量的取值范围不同,两个协方差(如 $cov(X,Y),cov(X,Z)$)不能直接作比。故提出相关系数的概念。
相关系数:剔除变量量纲影响,归一化后的协方差($\rho\in [-1, 1]$)
https://www.zhihu.com/question/20852004/answer/134902061,GA。
$\rho = {cov(X,Y)\over \rho_X·\rho_Y}=E[{X-E(X)\over \rho_X}·{Y-E(Y)\over \rho_Y}]$
反应两个变量每单位变化时的情况,更好地比较变量间变化趋势的相似程度。
?感性:最优线性预测系数 $A={cov(X,Y)\over \sigma_X^2}=\rho·{\sigma_Y\over \sigma_X}$,若 $X,Y$ 完美相关,则Y是X的几倍,Y的标准差就应该也是X的标准差的几倍。但X和Y实际上相关系数只有$\rho$,Y的标准差中与X相关的就只有$\rho$这么多,那就用它打个折扣吧。
特征值:满足 $A\textbf{x}=\lambda \textbf{x}$ 的标量 $\lambda$。
- $n$ 阶方阵存在 $n$ 组特征值,否则无特征值
- 几何意义:对特征向量 $\textbf{x}$ 来说,通过矩阵 $A$ 线性变换前后方向并未发生改变,而只是长度比例发生变化,称 ~ 为特征值 $\lambda$。
确定性的收益才是我们追求的。
合约的作用:
- 风险对冲
- 套利工具
以风险指代方差,则在其他条件相同时,一个组合中资产的相关系数越高,风险越大。
风险又分为两部分:系统性风险(整个市场)、非系统性风险(某个领域)。
故我们可以知道,分散行业进行投资,可以降低风险(方差)。
分析方法
均衡定价(绝对定价)
从风险、行为、供需关系入手定价,从无(假设)到有(结论)进行定价。
- 优点:市场分类等表述清楚。
- 缺点:不宜直接指导投资选股。
无套利定价(相对定价)
核心:复制(Replication)
套利:无风险利润,对”一价定律”的违背;
期权:一种合约,在特定日前前,可以以固定价格购入该合约
金融摩擦
期限错配:
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资产定价问题:给定未来回报情况分支及其出现的可能几率,预测当前价格 P。
-
回报率:$r_u = {X_u \over P} - 1$
- 预期回报率 $E(\bar{r}) = {E(\bar{X})\over P} - 1$
行为金融
两大核心:非理性、套利。
均衡定价
复利
设每年利率 $r$,一年计息 $m$ 次,则 $n$ 年期后 $A(1+{r\over m})^{n·m}$。当 m -> infty,有 $Ae^{nr}$(连续复利)。
- 贴现:PV(present value) = FV(future value) · e^-nr(以连续复利为例)
- 净现值(NPV, Net Present Value),将 FV 贴现为 PV。当一个项目最终的 NPV > 0,则可赚钱(净现值法则)。(NPV 函数: NPV(cashflow, r))
- 内部收益率 (IRR, Internal Rate of Return):使得 NPV = 0 的利率 IRR。当 IRR > r 市场利率,则可为;否则不可为。(IRR: IRR(cashflow))
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再投资风险:将计算 IRR 的公式变形一下,则谕示每期得到的利润要再以至少 IRR 的利率投资出去(直到最后),才可能满足最终得到 $A(1+IRR)^n$ 的 FV、
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持有到期收益率(债券,yield to maturity (实质就是 IRR))
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票息率(Coupon Rate),不同于 到期收益率
-
债券的价格会受到现金流(又受利率影响)
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即期利率(Spot Rate / Zero Rate):(无套利定价)根据已有债券计算,如:
一年期 r1 = CurrentPrice / FaceValue - 1
(按 NPV 方式来算)两年期满足:FaceValue = Coupon / (1 + r1) + (CurrentPrice + Coupon) / (1 + r2)^2
-
远期利率(Forward Rate):例如按照 (1+r2)^2 = (1+r1)(1+FR) 计算,FR 即表示当期进行存款的利率,而 SR 可以理解为所有利率的平均值。
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股利贴现模型
- DDM: 设红利为 D, 股价为 S,则 DDM 定价方程为 $S_0=\sum\limits_{t=1}^\infty {D_t\over (1+r)^t} (+\lim\limits_{t\rightarrow \infty}{S_t\over (1+r)^t})$。
- 戈登模型 (Gordon 59):假设稳定增长的红利 $D_t = D_1(1+g)^{t-1},g<r$,则有 $S_0={D_1\over r-g}$
- 横截性条件(TVC, Transversality Condition):$\lim\limits_{t\rightarrow \infty}{S_t\over (1+r)^t} = 0$;
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市盈率(PE, Price/Earning):设红利为盈利的 k 倍,即 $D_t=kE_t$,则按戈登模型, ${S_0\over E_1}={k\over r-g}$。
- ROR (rate of return) 和 市盈率无关,在持有一起后,按照戈登模型计算,ROR = r。
- 价值投资:投资被低估的股票,表现为市盈率低
- 动态 PE: $S_0\over E_1$;trailing PE: $S_0\over E_0$
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企业分红决策,费雪分离准则:如何分红各期红利?
- 根据市场利率和分红之间的贴现关系,在生产的可能性边界上先确定一期、二期分红 (D1, D2),以最大化股价;
- 根据该点与市场利率 r,股东进行借贷以最大化自己的效用(得到的点 P 能够右移化大家的无差异曲线)
如何确定贴现率 $r$?学习 CAPM 后,可以用之对一个公司进行贴现率的确定。
- 事前回报率:0 期算的期望回报率(多可能性);事后回报率:1 期算的期望回报率;
- 风险溢价:在未来承担某风险,因而在预期(事前)回报率给出的回报($E(\bar{r})-r_f$)
均值-方差分析
基于均衡定价方法
- 无风险利率:规定方差 $\sigma_f^2 = 0$(期望回报率的风险为 0,而不是用历史数据进行计算),表示资产的时间价值
对无风险和一个风险组合的组合: $r_p=(1-w,w)·(r_f,r_s)$,则:
$E(r_p)=\bar{r_p}=r_f+w(\bar{r_s}-r_f);D(r_p)=\sigma^2_p=w^2\sigma_s^2$,
也即:$w={\sigma_p\over \sigma_s}$,则 $\bar{r_p}=r_f+{\bar{r_s}-r_f\over \sigma_s}\sigma_p$,
这条线就叫做 无风险资产和风险资产的组合线,刻画了组合 $r_p$ 的期望收益率与方差(风险)的关系。
而两个风险组合 $r_p=(w,1-w)·(\tilde{r_1},\tilde{r_2})$ 的指标如下:
$\bar{r_p}=w\bar{r_1}+(1-w)\bar{r_2};\ \sigma_p^2=w^2\sigma_1^2+(1-w)^2\sigma_2^2+2w(1-w)\sigma_{12}$。
用 $\sigma$ 代换 $w$,则对于两组合资产的组合曲线,其为一条如下图所示的曲线:
其中白点处即为最小方差组合(此处也再次说明,组合投资可以分散风险)。
(三种资产组合及以上,组合曲线变为一个面)
总的来说:
设资产收益率为 $R_i$,则投资组合 $p$ 的收益率为 $R_p=\sum\limits_{i=1}^N \omega_iR_i,\sum\limits_{i=1}^N\omega_i = 1$,其中 $\omega$ 指投资比例。
期望收益率:$\bar{R_p}=E(R_p)=\sum\limits_{i=1}^N\omega_iE(R_i)$;
方差: $\sigma^2(R_p)=\sigma^2(\sum\limits_{i=1}^N\omega_iR_i)=\sum\limits_{i=1}^N \omega_i^2\sigma^2(R_i)+\sum\limits_{i\ne j}\omega_i\omega_j\sigma(R_i,R_j)$
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有效前沿(efficient frontier):双曲线外沿的上半部分。
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资本市场线(CML, Capital Market Line):当无风险资产 f 和风险资产 M 组合起来,期望得到一条期望收益率最高的曲线,也即,从 $(0,r_f)$ 出发,与有效前沿的上部分相切得到的这条曲线,切点即为点 $M$。$\bar{r}=r_f+{\bar{r_M}-r_f\over \sigma_M}\sigma$,或者 $\bar{r_i}=r_f+{\sigma_i\over \sigma_M}(\bar{r_M}-r_f)$,表示期望回报率=时间价值+风险溢价(风险度量×风险价格(市场组合的超额收益))。
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夏普比率(SR, Sharp Ratio):${\bar{r_i} - r_f\over \sigma_i}$。某资产的超额回报率/该资产的波动率,用以衡量:通过承担风险获得收益的效率。
- 只用以衡量已经充分分散化的投资组合。
- 共同基金定理:
- 构造市场组合 $M$;
- 对于不同风险偏好的人群,构造 $(1-w_i,w_i)·(r_f,r_M)$。
- 为啥不在 CML 上选,而要用最小方差??
资本资产定价模型(CAPM, Capital Asset Pricing Model)
CAPM 从定价开始,推导出了人的行为、投资组合,最后又导出了定价。(均衡分析,互为因果)
- 假定所有人都以市场组合来持有风险资产。(故认为 $M$ 就是市场)
- 七个假设:
- 市场:
- 无交易成本;
- 无税收;
- 完全竞争;
- 资产无限可分;
- 投资者:
- Mean-Variance 偏好;
- 可买空卖空;
- 共同预期。
- 市场:
- 效用函数:$u(r)=E(r)-A\sigma^2(r)$,风险厌恶越大,则 $A$ 越大
- 在市场均衡时,人们都愿意采用市场组合 $M$,以获得最高的效用。
- 对任意资产 $i$,若与市场组合 $M $ 相组合,定义 $\beta_i = {\sigma_{iM}\over \sigma^2_M}$(最佳线性预测系数?),则有定价方程: $\bar{r_i}-r_f = \beta_i [\bar{r_M}-r_f]$,在图像上表示为一根在 M 点与 CML 相切的双曲线。(在 CML 下方)
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证券市场线(SML, Securities Market Line):用 $\beta$ 与 $E(r)$ 作相关图像,得到一条过 $(0,r_f),(1,r_M)$ 的直线 $\bar{r_i}-r_f = \beta_i [\bar{r_M}-r_f]$,刻画了资产期望回报率与 $\beta$ 间的关系。
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条件:对所有资产都成立,(⚠建立在 CAPM, CML 成立的前提之下)以定价。
与 CML 的差别:
- CML 只对那些可以得到最高 SR 的资产成立(是 M 与 f 的组合,是充分分散化的资产组合);而 SML 是 M 与 $\forall $ 资产的组合;
- SML 的风险以资产 $i$ 与 市场组合 $M$ 的协方差 $\beta_i$ 来衡量,而 CML 的风险以其标准差 $\sigma$ 来衡量。
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任意组合,风险 $\sigma_i$ 都可以被分为系统性风险(与市场有关,故不可被分散化)、个体风险(与市场无关,可以被消抵掉),故 $\beta_i$ 出现了(用这部分无法分散化的风险去度量风险溢价)
SML :其 $\beta$(风险度量)反映的是风险组合与市场组合的关联性(系统性风险)。举例:同等回报下,也许钢材的方差比药厂的更小,但是钢材与市场经济的积极性关联性更正相关,而药厂的个体风险占比更大,更容易被分散化。故从 CAPM 模型来看,药厂的股价更高.
设 $\tilde{x}$ 为超额 ~,则由 SML 得到,$\tilde{r_i}=\beta_i \tilde{r_M}$,OLS 定价得到 $\tilde{r_i}=\alpha_i + \beta_i \tilde{r_M} + \tilde{\epsilon_i}$,由此可得到 $Var(\tilde{r_i}) = \beta_i^2\sigma_M^2 + \sigma_\epsilon^2$($Cov(\tilde{r_M},\tilde{\epsilon_i})= 0$)。
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与夏普比率相对的是,Jensen’s Alpha:$r$ 距离 SML 的垂直距离(因为现实市场显然不均衡)。
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用以衡量非分散化基金(如针对某行业的基金),这类基金用 $\alpha$ 去衡量而非 $\beta$。
这样一来就可以对冲从而获得 $\alpha$ 收益。
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局限性
- 只研究资产市场的均衡,而假定很多条件是外来给定的;
- 单因素模型:只使用与市场组合的相关性去解释;
C-CAPM
期望效用、不确定性下的决策。
前提
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理性偏好:满足完备性与传递性。
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连续偏好:对两个序列,在趋近极限时偏序关系依然成立。
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M-V 的缺陷在于:只通过了随机变量的一、二阶矩去确定偏好。但我们知道:当知道 $E(\tilde{x}-c)^k,k>0$ 时,方才完全了解一个随机变量的分布(充要条件)。
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M-V 缺陷举例如下:
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期望效用(Expected Utility)
对不确定性状况下的表现优良
简单彩票模型
$\mathcal{L}$(space of (simle) lotterie):$(p_1,…,p_N),p_i\ge 0,\sum\limits_{i=1}^Np_i=1$。
不同的彩票包含不同的概率状态(消费束):如 $L_1 = (0.5,0.5)·(A,B)$。
(复杂彩票可以转换为简单彩票模型)
独立性公理(IA, Independence Axiom)
$A,B,C\in \mathcal{L},\forall \alpha \in (0,1)$,有 $A\succeq B \Leftrightarrow \alpha A+(1-\alpha)C \succeq \alpha B + (1-\alpha )C$。
期望效用定理
对于定义在 $\mathcal{L}$ 上的偏好 $\succeq$,满足理性偏好、连续偏好及独立性公理,则效用 $U(L)=\sum\limits_{i=1}^N p_iu(x_i)$。
- 阿莱悖论:在涉及极端情况下的选择,期望效用也许会失效。
风险厌恶的衡量,对应到 U-c 图像上,即与边际效用下降速度有关,下降速度越快,对不确定性厌恶越大。(在 c 处,同样失去 c’: Δ 和得到 c’: Δ,效用的减少量大于增加量)
- risk premium (风险溢价) = c - certainty equivalence (确定性等值)
此处设效用 $u(y)=\pi u(y+h) + (1-\pi)u(y-h),h>0$,对 $\pi ^{}$ 而言,在 $y$ 处经二阶泰勒展开后可以得到:$\pi^={1\over 2}+{h\over 4}[-{u^{‘’}(y)\over u’(y)}]$;
若用 $\theta y$ 替代 $h$,则有 $\pi^*={1\over 2}+{\theta\over 4}[-{yu^{‘’}(y)\over u’(y)}]$,则有:
- 绝对风险规避[厌恶]系数(ARA, Coefficient of Absolute Risk Aversion):$R_A(y)=-{u^{‘’}(y)\over u’(y)}$;
- 相对风险规避[厌恶]系数(RRA, Coefficient of Relative Risk Aversion):$R_R(y)=-{yu^{‘’}(y)\over u’(y)}$。
可以得到一个结论:风险规避系数越高,越厌恶风险,简单地可以说是边际效用下降得越快。
特殊的效用函数
- CARA:$u(c)=-e^{-\alpha c},R_A(y)=\alpha$;
- CRRA:$u(c)={c^{1-\gamma}-1\over 1-\gamma},R_R(y)=\gamma$,当 $\gamma=1$,由洛必达得 $u(c)=ln(c)$;
- Linear:$u(c)=\alpha c, R(y)=0$。
风险资产相关
-
当 $E(\tilde{r})>r_f$,必定有一部分资产分配给该风险资产 $r$。
设有资产组合 $(a, w_0 - a)·(\tilde{r}, r_f)$,则:
定理1:当 $E(\tilde{r})>r_f,u^{‘’}(·)<0$,有 $a^{*}{‘}(w_0)>0\Leftrightarrow R_A’(·) < 0$ (DARA);
定理2:设弹性 $e(w_0)={da^*\over a}/{dw_0\over w_0}$,则 $e(w_0)>1 \Leftrightarrow R’_R(·)<0$ (DRRA)。(弹性:指一个变量相对于另一个变量发生的一定比例改变的属性)
-
不确定性下的储蓄:设拿出 $s$ 进行储蓄,$w=(w-s) + s$,$R=(1+r)$,则效用函数为 $u(w-s)+\delta u(sR)$,要使效用最大,求导最后得到:(s 为 R 的函数)
${ds\over dR} > 0 \Leftrightarrow R_R(sR)<1;{ds\over dR} < 0 \Leftrightarrow R_R(sR)>1$
即,(对储蓄的)低风险厌恶度下储蓄更多(替代效应占优),高风险厌恶度下储蓄更少(收入效应占优,储蓄回报率上升带来未来储蓄变多,则减少储蓄投资到现在[平滑消费])
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对 CRRA: $u(c)={c^{1-\gamma}-1\over 1-\gamma}$,$R_R=\gamma,P_R(=-{yu^{‘’’}(y)\over u^{‘’}(y)})=\gamma+1$($P$:风险审慎系数)。
当 $\gamma=1$,即 $u(c)=ln(c)$,则以上两个条件保证:回报率的高低与风险程度,都不影响储蓄,储蓄将变为一个常数。
-
资产市场相关
- (宏观上)不可储存;(储蓄通过资产买卖来完成,微观上可以:例如借贷合同)
- 宏观上不能如此,是因为若大家都选择储蓄,价格机制将起作用而调整,故 $r_f$ 将很低甚至为负,到最后无人愿意储蓄。
- 禀赋(endowment)经济(消费品由外生给定,无生产活动)(也就是一开始就有的);
设(从 0 期到 1 期)有 $\mathcal{S}$ 种状态数 $\Pi_s$,有回报率向量 $\tilde{r}=(r_1,…,r_\mathcal{S})^T$;
记资产零期价格:$\mathbb{P}=[p_1,…,p_J]$;
对资产 $j,1\le j \le J$,资产向量:$\mathbb{X}^j=( X_1^j,…,X_{\mathcal{S} }^j)^T$ 表示某个资产在所有状态下的支付(数量?总之并不代表价格),则定义资产市场的支付矩阵(payoff matrix)为 $\mathbb{X} = \left\begin{matrix} \mathbb{X^1},\mathbb{X^2},\cdots,\mathbb{X^J}\end{matrix}\right$;
记资产组合 $\Theta=(\theta_1,…,\theta_J)^T$,则组合的零期价格为 $\mathbb{P}\Theta$,支付矩阵为 $\mathbb{X}\Theta$
则提出资产定价问题:$\mathbb{X}\rightarrow \mathbb{P}$
- 完备市场:若任意 消费计划 $\mathbb{c}=(c_1,…,c_\mathcal{S})^T$ 都可通过一期的资产组合实现,则说该市场完备。
- 充要条件即 $rank(\mathbb{X})=rank(\mathbb{X},\mathbb{c})$。
- 必要条件:$J\ge S$,若 $rank = S$ 则一定为完备市场。(有一组基即可)
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阿罗-德布鲁市场与阿罗证券
- 若使消费计划为 $(\theta_1,…,\theta_\mathcal{S})$,则有如下情况:由 J 个阿罗证券组成的市场就是最简单的完备市场;任何一个完备市场都可以等价为一个 ~。
- 阿罗证券(也就是单个基底)(对应 0 期的)状态价格:$\Phi=(\phi_1,…,\phi_\mathcal{S})$
-
无风险资产价格 $\rho = \sum\limits_{i=1}^\mathcal{S} \phi_i$(支付向量均为 1)
-
最大化期望贴现效用和 $\max\limits_{\theta_1,…,\theta_J}(u(c_0)+\delta \sum\limits_{i=1}^\mathcal{S} \Pi_i u(c_i)),0<\delta<1$,$\delta$ 为贴现因子。
- 效用函数等均可客制化,只需要保证 $\Pi_i$ 一致。
- 约束条件为:
- $c_0 = e_0 - \sum\limits_{i=1}^J \phi_i\theta_i$,指零时刻的禀赋减去购买的资产价格(禀赋=零期消费+投资);
- $c_i=e_i + \sum\limits_{i=1}^J X_s^i\theta_i(=e_i+\theta_i), s=1,2,…,\mathcal{S}$(一期消费=禀赋+资产的支付)。
- 两式代换后再简单一些,有:$c_0=e_0-\sum\limits_{i=1}^\mathcal{S}\phi_i(c_i-e_i)$。
-
则构造拉格朗日函数 $\mathcal{L}=u(c_0)+\delta \sum\limits_{i=1}^\mathcal{S} \Pi_i u(c_i) + \lambda_1(-c_0+e_0-\sum\limits_{i=1}^\mathcal{S}\phi_i(c_i-e_i))$,求偏导后得到 ${\Pi_i u’(c_i)\over \Pi_j u’(c_j)}={\phi_i\over \phi_j}$。
解释为,当效用最大化时,不同状态下的边际效用×概率 的比值 = 不同状态下阿罗证券的价格 的比值。
-
均衡算例:先解决每个人的最优化问题,然后进行市场出清(约束每一状态的总消费等于支付)。
完备市场中的一般均衡
- 帕累托改进/最优/效率:所有人福利不下降的前提下,使得部分人严格上升。
- 仁慈的中央计划者所要做的优化函数,在两期消费计划下可被认为是 $\max \sum\limits_{k=1}^K \mu_k[u_k(c_{k_0})+\delta\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S}\Pi_su_k(c_{k_{1,s} })]$,其中 $\mu_k$ 为一权重,要求达到帕累托最优。
- 限制条件:$\sum\limits_{k=1}^K c_{k_0}\le \sum\limits_{k=1}^K e_{k_0};\sum\limits_{k=1}^K c_{k_{1, s}}\le \sum\limits_{k=1}^K e_{k_{1,s}},s=1,\cdots,\mathcal{S}$,也即任意状态下所有人的总消费不大于总禀赋。
- 仁慈的中央计划者所要做的优化函数,在两期消费计划下可被认为是 $\max \sum\limits_{k=1}^K \mu_k[u_k(c_{k_0})+\delta\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S}\Pi_su_k(c_{k_{1,s} })]$,其中 $\mu_k$ 为一权重,要求达到帕累托最优。
- 第一福利经济学定理:一定更加宽泛条件下,市场均衡即帕累托最优。
- 第二福利经济学定理:任给一帕累托最优,一定能找到一般均衡去实现之。
- 帕累托最优 等价于 一般均衡
市场均衡时,所有人消费的波动 只与全市场的禀赋波动有关(正相关),而与自己的禀赋波动无关;此时给定 $s,s’$,若 $c_s>c_{s’}$,则 $\forall k,c_{k_s}>c_{k_{s’ } }$。
- 即,完备市场中,任意个体的消费只与该状态下的总禀赋有关。但具体到个人,消费虽然完全正相关,但波动不完全一致(风险厌恶度不同)
威尔逊定理:设绝对风险容忍度 $T(c)={1\over R_A(c)}=-{u’(c)\over u^{‘’}(c)}$,则 ${dc_{ks}\over de_s} = {T_k(c_{ks})\over \sum\limits_{k=1}^K T_k(c_{ks})}$。
代表性消费者:若效用函数为 HARA(抛物线型),完备市场中可认为只有一个消费者 $c=\sum_k c_k$(完全正相关)。
- 这样一来,可以将宏观变量与资产价格联系起来。
- 资产定价:用禀赋与支付代换消费后,对期望效用和函数求导(消费者优化的一阶条件),则最终得 $1=E[\delta {u’(\tilde{c_1})\over u’(c_0)}(1+\tilde{r_j})]$,可以通过设定消费来得到相应的回报率。
随机折现因子(SDF, Stochastic Discount Factor):$\tilde{m} = \delta{u’(\tilde{c_1})\over u’(c_0)}$
- 所有的资产定价归结于如何找到 SDF,从而确定出满足该方程的收益率(定价):$p_j=E(\tilde{m}\tilde{x_j}),(1=E[\tilde{m}(1+\tilde{r_j})])$。
- 代入无风险利率 $r_f$,有 $1+r_f={1\over E[\tilde{m}]}$,最终能够得到定价方程:$E(\tilde{r_j})-r_f=-{(1+r_f)\delta\over u’(c_0)}\sigma_{u’(\tilde{c_1}),\tilde{r_j} }$。
C-CAPM:
- CAPM 只是 C-CAPM 的特例(二次型效用函数、CARA 且回报率服从正态分布时)
- 市场组合 $M$ 的支付是总禀赋,其就是宏观经济,而 $\tilde{r_M}={\tilde{c_1}\over p_M}-1$。
- 系统性风险:与宏观经济波动正相关的风险
- 设预期消费增长率为 $\tilde{g} = {\tilde{c_1}\over c_0} - 1$,则通过对 C-CAPM 下的 SDF 的转换及泰勒展开、近似 $\sigma^2 (g)=E[g^2]$ 等后得到无风险利率的决定式:$r_f = \rho + R_R \bar{g}-{1\over 2}R_RP_R\sigma^2_g,\rho={1\over \sigma}- 1$,其中各项含义如下:
- $\rho$:impatience,对未来效用越短视,储蓄越少(不愿意增大未来效用)而现在消费更多——则 $\sigma$ 越小,$\rho$ 越大,则 $r_f$ 越大,以期平衡促进当前储蓄;
- $R_R\bar{g}$:Economic growth,消费增长率 $ g$ 越高,未来消费越多(既定假设,不一定只来源于现在的储蓄),现在就不愿意储蓄(因为未来消费已经很高了),同样为了平衡 ~;$R_R$ 越高,风险厌恶度越大,消费平滑能力越强,则更愿意减少未来消费,增加当前消费,则储蓄下降,则为了平衡 ~;
- $-{1\over 2}R_RP_R\sigma^2_g$:precountionary saving,预防性储蓄,$\sigma_g^2$ 越大,消费风险越大,则未来消费波动越大,故预防性储蓄更多,$r_f$ 下降。
- 其中前两项影响更大(最后一项量级小)
- 通过 C-CAPM 定价、计算 $r_f$ 时理论与现实差异太大:出现风险溢价谜题!
无套利定价
给出资产价格信息进行分析,相对定价。
只要市场无套利,则有线性关系式(线性因子模型)。
套利资产定价理论(APT, Arbitrage Pricing Theory)
只通过无套利定价去分析(因子模型,一价理论)
单因子模型:$\tilde{r_i}-r_f=\alpha_i + \beta_{i,M}(\tilde{r_M}-r_f)+\tilde{\epsilon_i}$(对应 SML 的计量模型)
Fama-Franch 三因子模型
$\tilde{r}i-r{f}=\alpha_i + \beta_{i,M}(\tilde{r}M-r{f})+\beta_{is}\widetilde{SMB}t+\beta{ih}\widetilde{HML}+\tilde{\epsilon_i}$
- SMB (Small Minus Big): 市值因子(小公司比大公司高出的收益率,控制公司规模);
- HML (High Minus Low): 账面市值比因子(高B/M比股票减去低B/M比股票的收益率,控制股票价格);
- 因子:必须承担的系统性风险(总消费)的来源,从而影响随机折现因子 SDF,从而影响风险溢价及收益率。如 C-CAPM 中只假设为市场组合。
- 系统性风险来源都会形成风险溢价
$\tilde{r_i}=\bar{r_i}+\sum\limits_{k=1}^K \beta_{i,k}\tilde{f_k}+\tilde{\epsilon_i},i=1,…,N»k$
假设 $E[\tilde{f_k^2}]=1,E[\tilde{\epsilon_i^2}]=\sigma_\epsilon^2<+\infty,E[\tilde{f_k}\tilde{f_{k’} }]=E[\tilde{\epsilon_i}\tilde{\epsilon_j}]=E[\tilde{f_k}\tilde{\epsilon_i}]=0$。
则构造资产组合 $\tilde{r_p}=\sum\limits_{i=1}^N w_i\tilde{r_i}$,展开之可以观测到每个因子的影响。
-
若设每个因子 $\tilde{f_k}$ 载荷 $\sum w_i \beta_{i,k}$ 为 0,k 个方程求解 n 个未知数 $w_i$,则得到:$\tilde{r_{p0} }=\sum\limits_{i=1}^N w_{0,i}\bar{r_i}+\sum\limits_{i=1}^N w_{0,i} \tilde{\epsilon_i}$,易知方差 $\sigma^2(\tilde{r_{p0} })=\sigma_\epsilon^2\sum\limits_{i=1}^N w_{0,i}^2$,又知 $\sum w_i = 1$,则当 N 足够大,$\sigma^2(\tilde{r_{p0} })=0$。
故此时可认为 $\tilde{r_{p0} }=r_f$。
-
设任意因子载荷为 1,其他载荷为 0 时,解方程则能够得到单个因子的风险溢价;
-
最终可以得到 $\bar{r_i}=r_f+\sum\limits_{k=1}^K \beta_{i,k}\lambda_k$。
统计套利
(不是套利,算是抄底?(笑))
根据例如说 $\tilde{r_0}-r_f=\alpha_0 + \sum\limits_{n=1}^N\beta_n \tilde{f_n}+\tilde{\epsilon_0}$ 这样的式子预测,若过去一段时间的实际收益率更低,则根据均值回归理论,未来的实际收益率会更高。
远期
期货(futures):标准的远期合约
- 假设:
- 现货价格 $S_0$
- 远期价格 $F_0$
- 无风险利率(连续复利)$r$
- $F_0 = S_0 e^{rt}$,以确保无套利
期权:一种权利。
普通期权
零和游戏
- 到期日(Maturity date T)
- 行权价格(exericse price $K$):不等同于真实的价格,只是一种预测。
- 标的资产(underlying asset)
-
欧式期权:到期日时选择行使权力与否;
-
美式期权:到期日前均可选择行使权力与否。
-
Call:看涨期权,可以理解为购买一个 行权日以 $K$ 买入该股票 的权利。
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价值 $C+ Ke^{-rT}$,理解为购买该权利并准备足够的钱(以在行权日选择买入与否);
-
做多:
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做空:
-
-
Put:看跌期权,可以理解为购买一个 行权日以 $K$ 卖出该股票 的权利。
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价值 $P+S_0$,理解为购买该权利并买一支现在的股票(以在当日选择卖出与否);
-
做多:
-
它们的支付都是 $max{S_T,K}$。(买入 Call:$S_T>K$ 行权支付为 $S_T$,否则不行权支付为 $K$;买入 Put:$S_T>K$ 不行权支付为 $S_T$,否则行权支付为 $K$)
-
实际价格:$C,P$;实际得到:$max(0,S_T-K)-C,max(K-S_T,0)-P$
-
-
Put-Call Parity:$C+ Ke^{-rT}=P+S_0$
- 支付一致,价格也一致。
-
“butterfly”:以看涨期权为例,做多一个 $k-\epsilon$,一个 $k+\epsilon$ 的期权,做空两个 $k$ 的期权,则可构造出如图蓝色曲线所代表的 payoff(未考虑价格),此曲线类似于一个阿罗证券,故易转换为完备市场。
- 用途:套期保值(对冲,Hedge)
此外,还有奇异期权(Exotic Options)。
单期二叉树模型
给定两种状态的可能性 $p, 1-p$ 及支付矩阵如下(其中股票使用乘性因子而非加性是为了避免负数): \(\left[\begin{matrix} Stock&Bond&Derivative\\ uS_0&e^r &C_u\\ dS_0&e^r&C_d\end{matrix}\right]\) 对 $[S_0,1,C_0]$,要求定价 $C_0$(基于无套利)。
方法 1:风险消除法定价
对 (Stock, Derivative) 确定无风险组合 $\Pi=(-\Delta, 1)$,则 $\Pi_0 = C_0 - \Delta S_0$,$\left{\begin{matrix}\Pi_u = C_u - \Delta u S_0\ \Pi_d = C_d - \Delta d S_0\end{matrix}\right .$。
有条件一: $\Pi_u=\Pi_d$,显然此刻也有条件二:$\Pi_u=\Pi_0 e^r$,由此方满足无套利定价。
$\Delta = {C_u-C_d\over (u-d)S_0}=\frac{\partial C}{\partial S}$。
- 这样的方法叫做 Delta Hedge,通过调整 $\Delta$ 使得组合 1 期价格相等,满足无风险组合。
方法 2:复制法定价
对 (Stock, Bond) 确定组合 $(\Delta, B)$,以复制出 Derivative 的价格,则 $C_0=\Delta S_0+B$,详细推导过程不表,跟法 1 类似。
- 其中 $\Delta = {C_u-C_d\over (u-d)S_0}$,可解释为组合对底层资产变化的敏感性。
方法 3:风险中性定价
- 风险中性:所有人都不在意风险,未来的支付都用 $r_f$ 去贴现。
现在假设两种情况 $(u,d)$ 的概率为 $(q, 1- q)$,则对 $S_0=e^{-r}E[\tilde{S_1}]$ 贴现求出 $q$,再带入 $C_0=e^{-r}E^Q[\tilde{C}]$ 即可。
这三种方法均可求得 $C_0=e^{-r}[{e^r-d\over u-d}C_u+{u-e^r\over u-d} C_d]$,其中 $C_u,C_d$ 系数之和为 1,我们称之为风险中性期望 $E^Q[\tilde{C}]$。
- Q:为什么 $C_0$ 中没有出现有关概率 $p$ 的表示?
- A:概率已蕴含在 1 期价格情况 $(u,d)$ 中,若情况变动,概率也会随之变化。
- 套利:
- $P\theta \le 0$
- $\mathbb{X} \theta \ge 0$
- 不等式不同时为 0
- 均衡市场一定无套利(每个人都做到自己的最优效用),但反过来不一定成立。
- 状态价格向量:$\Phi=(\phi_1,\cdots,\phi_\mathcal{S})^T,\forall s,\phi_s>0$ s.t. $p_j=\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} \phi_s X_s^j,\forall j$(阿罗证券价格,用途为折现价格)
资产定价基本定理
当且仅当存在状态价格向量,市场无套利。
-
引理:超平面分离定理:
若在空间中找到两个分离的凸集,则可找到一个超平面将之分离开。
$\forall$ convex set $A,B,A\cap B =\empty$,$\exists $ linear function $F(·)$ s.t. $F(a) < F(b)\ \forall a\in A, b \in B$。
$A= {(-\sum\limits_{j=1}^J p_j \theta_j, \sum\limits_{j=1}^J X_1^j\theta_j,\cdots,\sum\limits_{j=1}^J X_\mathcal{S}^j \theta_j):\theta_j\in R,\forall j=1,\cdots,J}$,也即 (- price of Θ, payoff of Θ);
$B={(b_0,…,b_\mathcal{S}):b_i\ge 0,\forall i=0,1,…,\mathcal{S} }$
使用如上两向量即可证明该定理,并且给出相应的状态价格向量:$\phi_s={\alpha_s\over \alpha_0}$,其中 ${\alpha}$ 为 $F(x)=\alpha_0 x_0+…+\alpha_\mathcal{S} x_\mathcal{S}$ 的系数。
-
线性函数的性质:F(μx) = μF(x), μ∈R
第二资产定价基本定理
在完备市场中,无套利等价于存在唯一的状态价格向量(,也就存在风险中性概率)。
风险中性定价
因为无套利的前提,故风险中性定价有其合理性。
对无风险资产折现得到,$e^{-r}=\sum \phi_s·1=\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} \phi_s$,由此我们定义风险中性概率 $q_s=\frac{\phi_s}{\sum \phi_s}=e^r\phi_s,\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S}=1$。
则风险中性定价:$p=\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} \phi_s X_s=e^{-r}\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} q_sX_s=e^{-r}E^Q[\tilde{X}]$。
一般,通过已知资产价格算出风险中性概率 q,再进行未知资产的定价。
-
其中,如用 C-CAPM 定价中的折现因子去解释,可知 $q_s$ 相比真实概率 $\Pi_s$,增大了那些边际效用较高资产(消费较为稀缺)的概率,降低了边际效用较低的(消费普遍)。
- 随机折现因子,$\tilde{m}(m_s=\frac{\phi_s}{\Pi_s})$,也称为状态价格密度、状态价格核;
- 状态价格,$\phi_s$,也即阿罗证券价格。
-
过滤:${F_t}$ 随时间变化划分得越来越精细;
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长存资产:长期具有支付。对多期二叉树而言,长存资产的数目不少于节点分支的上限,则市场动态完备;
- 合并二叉树:不考虑状态顺序,只考虑各状态数量,则可以将很多分支合并;
- 回望期权:收益依附于期权有效期内标的资产达到的最大或最小价格。(就无法合并)
-
叠期望定理:已在第 t 期状态时,我们将期望表示为 $E_t[\tilde{x}]=E[\tilde{x}\mid F_t]=E_t[E_{t+1}[\tilde{x}]]$,也即,此时当期期望仅由其分支的所有状态决定。(也就是一个反向传播的感觉)
- 贴现资产价格(deflated asset price):$\hat{S_t}=e^{-rt}S_t$(从 t 期贴到 0 期),在风险中性的世界中,$E_i[\hat{S_j}]=\hat{S_i},i<j$。我私以为是一种无法预测未来(而只能按当前信息贴现)的表现。
- 鞅(Martingale):像这样,当前价值等于未来价值的预期的随机过程,叫作 ~(所谓 [漂移率为 0] )。
- 故风险中性概率又叫等价鞅测度(EMM, Equivalent Martingale Measure)
最优停时
不分红的 Call,不行权最好。
由期权部分,我们有 $C+Ke^{-rT}=P+S_0$,于是到 $t$ 时刻,对期权的标的物为不分红股票时,$C_t=(S_t-K)+P_t + K(1-e^{-r(T-t)})$,此时 Call 的价格如前式所示,而当此时卖出($S_t>K$),收益显然是小于 Call 的价值的(后两项大于 0),这就意味着始终持有是最好的选择。(直观理解,当 $t=0$,显然 $C$ 的价格与 $S_0-K$ 的差异有正相关性(?一开始不买会不会更好))
- 《在金融里邂逅动态规划是否搞错了什么?》
- 其实形式就是一个 $V(a) = max{0, E(V(a-1))}$;
美式期权
由于 Call 随时可行权,故此处讨论 Put。按欧式期权的做法,期权定价价格直接以分支的期望价格折现即可;美式期权由于随时可行权,故自最后一期往前,每一期的期权定价为 $P_t=max{,e^{-r}P_{t+1} }$
按揭贷款
Even Principal Payments(等额本金还款):每月偿还金额逐月递减,其中偿还本金固定不变,偿还利息(随本金减少而)逐月递减;
Even Total Payments(等额本期还款):每月偿还金额固定不变,其中每月偿还本金逐月增加,每月偿还利息逐月减少。(偿还完利息,多余的金额用作偿还本金)
- 借助动态规划进行是否提前还款的讨论(以等额本金还款为例):
故在 $t$ 时刻,允许提前还款的前提下,该点贷款的价值为 $V_t=\min{B_t,V_t’}$。由上式,提前还款的权利降低了按揭贷款的价值。
Black-Scholes Fermula
-
log-normal:$logS_T-logS_0 \sim \Phi(\mu,\sigma^2)$,设股票价格的对数变化率为正态分布。
则设 $X = logS_T-logS_0$,则 $S_T=e^XS_0$;
- 经计算知,若 $log(x)\sim \Phi(\mu,\sigma^2)$,则 $E(e^x)=e^{\mu + {1\over 2} \sigma^2 }$。
-
随机游走:设有独立同分布的随机变量 $\epsilon_t \sim \Phi(0,1)$,以及一序列 ${Z_t}$,$Z_{t+1}-Z_{t}=\epsilon_t$,则称 该序列为随机游走的。(显然有 $Z_{t+\Delta}-Z_{t} \sim \Phi(0,\Delta)$)
-
布朗运动/维纳过程:对序列 ${\mathbb{X}(t),t\ge 0}$,满足如下三个条件即为 ~:
-
独立增量过程,也即:$\forall t_0<t_1<…<t_n,X_{t_0}$,有 $X_{t_1}-X_{t_0},…,X_{t_n}-X_{t_{n-1} }$ 相互独立;
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$\forall s,t>0$,$\mathbb{X}(s+t)-\mathbb{X}(s)\sim \phi(0,\sigma^2t)$;
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连续。
由随机微分,对布朗运动而言,其微分 $dZ_t \sim \sqrt{dt}$,则知,布朗运动处处连续,处处不可导。
- 带漂移项的布朗运动:$dX_t=udt+\sigma dZ_t$,其中 u 为常数,意即向某固定方向做随机游走;
- 几何布朗运动:${dS_t\over S_t}=udt+\sigma dZ_t$,其中 $S_t$ 为股价,$u$ 为常数趋势,$\sigma$ 为波动标准差。
-
伊藤引理:对布朗运动 $Z_t$ 的函数 $f$ 而言,$df(Z_t)=f’(Z_t)dZ_t+\frac{1}{2}f^{‘’}(Z_t)dt$
-
随机积分得到:$X_T=X_0+uT+\sigma \int_{t=0}^T dZ_t \sim \Phi(X_0 + uT, \sigma^2T)$。
方法 1:二叉树定价法
通过二叉树定价法,设每期时间趋于 0 的无穷期,最终能推导出 BS 公式。
方法 2:用股票与衍生品建立无风险组合
将股价 $S_t$ 用几何布朗运动表示,储蓄 $B_t$ 满足无风险利率增长 $dB_t=rB_tdt$,设无风险组合(股价 $S_t$ 变动对组合无影响) $(Stock,Derivative)=(\frac{\partial f}{\partial s}, -1)$,则有 $V(t,S_t)=\frac{\partial f}{\partial s}S_t - f(t,S_t)$,对其微分并与 $dV=rVdt$ 联立得到 B-S PDE (partial differential equation):
$\frac{\partial f}{\partial t}+rS_t\frac{\partial f}{\partial s}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2_t\frac{\partial^2 f}{\partial s^2}=rf$
例如在期权 $t$ 期价格 $C_t=\max{0,S_T-K}$ 约束下可得到 B-S 方程。
方法 3:鞅方法▲
在 EMM (等价鞅测度) 下得到 $S_T=S_0e^{rT}$,又由几何布朗运动等可得到 $S_T=S_0\exp[(u-\frac{1}{2}\sigma^2)T+\sigma\int_{t=0}^T dZ_t]$,算得 $S_T=S_0 e^{uT}$,联立后得到:$logS_T\sim \Phi[(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T,\sigma^2T]$。
与 $E(C_T)=E(\max{0,S_T-K})$ 和 $P $ 联立求期望即可得到最终的 B-S 期权定价公式(欧式): \(\begin{align*} &C_0=S_0N(d_1)-e^{-rT}KN(d_2)\\ & P_0=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1)\\ \\ \mathrm{where}\ &d_1=\frac{log(S_0/K)+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T} }\\ &d_2=\frac{log(S_0/K)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T} }=d_1-\sigma\sqrt{T}\\ &\mathrm{N}: \mathrm{cumulative\ distribution\ function\ of\ standard\ Normal} \end{align*}\) 故其使用条件为: \(\begin{align*} &\mathrm{Input}:S_0,K,r,T,\sigma\\ &\mathrm{Output}:C_0,P_0 \end{align*}\)
Hedge
- Delta Hedge:$\left{\begin{matrix} \Delta uS_0+e^rB=C_u\ \Delta dS_0+e^rB=C_d\end{matrix}\right.\rightarrow \left{\begin{matrix} \Delta =\frac{C_u-C_d}{(u-d)S_0}=\frac{\partial C}{\partial S} \ B=\frac{uC_d-dC_u}{(u-d)e^r}\end{matrix}\right.$
- 缺点:追涨杀跌,易放大市场波动。
通过 Delta Hedge,可以使用股票 $S$ 和无风险资产 $B$ 形成等价于期权 $C/P$ 的组合,使得每一期的现金流恰与期权一致。例如当写期权时,可对之动态对冲。
-
Delta neutral:$\Pi=\Delta S-C+B_t;\frac{\partial \Pi}{\partial S}=0$。
- 希腊字母(Greeks)的含义 :组合价值对资产(股票)的敏感性:
- $\Gamma=\frac{\partial \Delta}{\partial S} =\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$:组合权重变动对股票价格的敏感性。
- 同时也反映了对冲误差(Gamma 越大,意味着调整修正的难度越大(交易成本))
- 故希望 Gamma 在相同条件下尽量减小(只能用衍生品调整,股票本身二阶导数为 0),缺点在于衍生品(期权)手续费贵,难调整。
- $\upsilon=\frac{\partial \Pi}{\partial \sigma}$(vega):组合对标的股票波动率的敏感性,其中股票的 Vega 为 0(当前价值不会随对未来预期波动率变化而变化)。
- $\Gamma=\frac{\partial \Delta}{\partial S} =\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}$:组合权重变动对股票价格的敏感性。
- Portfolio Insurance(组合保险):用衍生品保护组合价值,常使用 Delta Hedge 对冲,故容易追涨杀跌(”黑色星期一”)。
金融摩擦
最后几讲笔记会比较简略。
- 阿罗德布鲁世界:无摩擦,所有阿罗证券能被定价,完备市场,自由交易,信息对称。
信息对称
- ex-post,道德风险(moral hazard):事后信息不对称(如受保人故意在高风险条件下进行行为,保险公司不知情);
- ex-ante,逆向选择(adverse selection):事前信息不对称(二手车的卖方)。
Principal(设计合约,信息劣势) - Agent(选择接受与否,信息优势)
contract theory 契约理论
- 信贷配给(credit rationing)
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金融加速器:带来资产价格和信贷扩张的正反馈机制放大经济波动。(金融周期)
- 债务悬挂:借款人过去的债务使得资金不足,无法融资,从而给当前的投资带来约束。
- 债务通缩:贷款(负债)通常比资产更具刚性,从而当通缩时,债务真实价值上升,抑制经济活动,而引发更强的通缩压力。
M-M Theorem
阿罗德布鲁市场中,公司价值和其结构无关。
尽管现实市场中存在坏企业,当信息不对称时,市场会出现以下两种情况:坏企业太多,市场崩溃;坏企业较少,投资的期望由好企业向坏企业进行了隐性的”补贴”(cross-subsidization)。
啄序理论
公司筹资的顺序:内部筹资、债券筹资、股票筹资。因为这样不会传递对公司股价产生不利影响的消息。(股票的信息含量是最大的)
期限错配
资产端期限和负债端期限不匹配,主要表现为”短存长贷”:资金来源主要是短期信贷,但资金流向却是(高收益的)长期贷款。
金融中介
简而言之即银行。
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核心功能:期限转换(短期 -> 长期)。
-
错误观点:(去中心化、减少信息不对称的)互联网发展 -> 趋于阿罗德布鲁市场 -> 银行消失。
- 理由:金融中介的存在主要是源于转换期限的需求,而非加强信息流通。
银行的功能所在:通过承担期限错配的风险,为储蓄者提供期限转换的服务。
-
特点:基于预期均衡(纳什均衡):
- Normal Equilibria:短期、长期储蓄者各得其所,总体上获得效用 $EU^{BNK}=EU^{BST}$。
- Bank Run(银行挤兑):长期储蓄者相信其他人将在 1 期赎回资产,故自身亦采取此策略,导致银行出现期限错配,最终倒闭。
- 一般来说,$c_1^{BNK}<c_2^{BNK}$ 故投资者常为情况 1,提前赎回不划算;但极端情况下可能为 2。
- 解决手段:通过存款保险解决:易出现道德风险,故采取风险监管政策。
具体解释如下,分析以下理想的资产案例:
Time | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
short(c1) | 1 | 1 | 1 |
long(c2) | 1 | -> | R(>1) |
设效用函数 $U(c_1,c_2)=\left{\begin{matrix}u(c_1),P_1=\lambda\ u(c_2),P_2=1-\lambda \end{matrix}\right .$,其中概率为此人为 short/long investor 的概率。
则期望效用 $E(U)=\lambda u(c_1) + (1-\lambda) u(c_2)$。
设资产分配比例为 $(\theta, 1-\theta)$,则分三种情况进行讨论:
-
Autarky(自给自足)
$E(U)=\lambda u(\theta)+(1-\lambda)u(\theta+(1-\theta)R)$
求导得当 $\lambda u’(c_1)=(1-\lambda)(R-1)u’(c_2)$,有此刻的最大化效用 $E(U^{ATK})$。
此时效用为保留效用,是无论如何都能达到的最大效用,故为下限。
-
Market
此时 1 期时资产可交易。
设 1 期的长期资产价格 $P=1$(不等于 1 时易推出矛盾),易得 $c_1^{MKT}=1,c_2^{MKT}=R$。
-
C.P.(仁慈的中央计划者)
设该 C.P. 知道所有人($N$ 足够大)的 short/long probability,则秉承不浪费资源、最大化效用的原则,有以下约束条件:$\left{ \begin{matrix}\lambda Nc_1=\theta N\(1-\lambda)Nc_2=(1-\theta)NR \end{matrix}\right.$,带回原式并求导得 $u’(c_1^{BST})=Ru’(c_2^{BST})$ 时有最大效用 $E(U^{BST})$。
(此时的足够大可看作投资可无限可分的一个人)
三种情况的效用图如下:
而银行在理想情况下正如 BST 情形,与无差异曲线相切时提供了最大效用。
影子银行
无严格监管、完善风控机制的银行业务,易发生银行挤兑,使金融市场出现问题。
此外,影子银行易采取高杠杆进一步加大风险。
- 前台:直接面对服务客户、市场交易;
- 通过”希腊字母”控制风险;
- 不同交易员建立的头寸可能有复杂的相互关系,可能导致总体头寸风险不低;
- 中台:为前台提供管理和指导,进行风控;
- 利用 VaR(风险价值度)等工具测算机构的整体风险状况;
- VaR:未来 t 时间内,有多大概率损失不会超过多少。
- 利用 VaR(风险价值度)等工具测算机构的整体风险状况;
- 后台:人力、综合、行政等。
结语
理论永远是理论,真实有效的市场远不止理性人假设。
跳出框架,才能够体会到市场的真实。