本篇为对《金融经济学二十五讲》- 徐高 - Bilibili 的学习笔记。

Some Basic Notes

$E(X) = \sum\limits_k kP(X=k)$ 指随机变量的期望值;

而 $X,Y$ 独立时,$P_{ij}=P_iP_j$,故 $E(X+Y)=\sum\sum(X_i+Y_i)P_{xy}=\sum\sum(X_i+Y_i)P_xP_y=E(X)+E(Y)$。

 

方差:某个随机变量各个维度偏离其均值的总体反映程度。

​ $var(X)={\sum\limits_1^n(X_i-\bar{X})^2\over n-1} = E[(X-E[X])^2]$

​ 平方:消除偏离正负的影响

标准差:$\rho_X=\sqrt{var(X)}$

​ 开方:还原量级。

协方差:用来度量两个随机变量关系的统计量(与方差对应)

​ $cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]$,意即:[各个维度偏离其均值的程度]的期望。

​ 如果协方差为正,说明X,Y同向变化,协方差越大说明同向程度越高;如果协方差为负,说明X,Y反向运动,协方差越小说明反向程度越高。

 

​ 协方差只能度量两个变量间的关系,但如果要刻画多个随机变量间的相关性,简单地,容易想到配对所有的协方差。为了更好地描述,提出了协方差矩阵。

协方差矩阵:$C_{n×n}=(c_{ij},c_{ij}=cov(X_i,X_j))$($X=(X_1,…,X_n)^T$)

https://www.zhihu.com/question/24283387/answer/523794714

​ 对 $X$ 这个矩阵,也是有期望所在的:$\mu=E(X)$,同样我们可以得到:$E((X-\mu)(X-\mu)^T)=E(XX^T)-\mu\mu^T$,这个期望矩阵恰好就是我们所提到的协方差矩阵

​ 又因为 $cov(X,Y)=cov(Y,X)$,故 $C_{n×n}$ 为一对角的正定矩阵,且对角线上的元素即为 $var(X_i)$。

​ …

 

对于两个随机变量,其量纲不同常会对协方差造成影响,又由于随机变量的取值范围不同,两个协方差(如 $cov(X,Y),cov(X,Z)$)不能直接作比。故提出相关系数的概念。

相关系数:剔除变量量纲影响,归一化后的协方差($\rho\in [-1, 1]$)

https://www.zhihu.com/question/20852004/answer/134902061,GA。

​ $\rho = {cov(X,Y)\over \rho_X·\rho_Y}=E[{X-E(X)\over \rho_X}·{Y-E(Y)\over \rho_Y}]$

​ 反应两个变量每单位变化时的情况,更好地比较变量间变化趋势的相似程度。

 

?感性:最优线性预测系数 $A={cov(X,Y)\over \sigma_X^2}=\rho·{\sigma_Y\over \sigma_X}$,若 $X,Y$ 完美相关,则Y是X的几倍,Y的标准差就应该也是X的标准差的几倍。但X和Y实际上相关系数只有$\rho$,Y的标准差中与X相关的就只有$\rho$这么多,那就用它打个折扣吧。

 

特征值:满足 $A\textbf{x}=\lambda \textbf{x}$ 的标量 $\lambda$。

 

确定性的收益才是我们追求的。

 

合约的作用:

 

以风险指代方差,则在其他条件相同时,一个组合中资产的相关系数越高,风险越大。

风险又分为两部分:系统性风险(整个市场)、非系统性风险(某个领域)。

故我们可以知道,分散行业进行投资,可以降低风险(方差)。

 

 

分析方法

均衡定价(绝对定价)

从风险、行为、供需关系入手定价,从无(假设)到有(结论)进行定价。

无套利定价(相对定价)

核心:复制(Replication)

套利:无风险利润,对”一价定律”的违背;

期权:一种合约,在特定日前前,可以以固定价格购入该合约

金融摩擦

期限错配:

 

行为金融

两大核心:非理性、套利。

 

均衡定价

复利

设每年利率 $r$,一年计息 $m$ 次,则 $n$ 年期后 $A(1+{r\over m})^{n·m}$。当 m -> infty,有 $Ae^{nr}$(连续复利)。

SML,CML

 

如何确定贴现率 $r$?学习 CAPM 后,可以用之对一个公司进行贴现率的确定。

 

均值-方差分析

基于均衡定价方法

无风险和一个风险组合的组合: $r_p=(1-w,w)·(r_f,r_s)$,则:

$E(r_p)=\bar{r_p}=r_f+w(\bar{r_s}-r_f);D(r_p)=\sigma^2_p=w^2\sigma_s^2$,

也即:$w={\sigma_p\over \sigma_s}$,则 $\bar{r_p}=r_f+{\bar{r_s}-r_f\over \sigma_s}\sigma_p$,

这条线就叫做 无风险资产和风险资产的组合线,刻画了组合 $r_p$ 的期望收益率与方差(风险)的关系。

两个风险组合 $r_p=(w,1-w)·(\tilde{r_1},\tilde{r_2})$ 的指标如下:

$\bar{r_p}=w\bar{r_1}+(1-w)\bar{r_2};\ \sigma_p^2=w^2\sigma_1^2+(1-w)^2\sigma_2^2+2w(1-w)\sigma_{12}$。

用 $\sigma$ 代换 $w$,则对于两组合资产的组合曲线,其为一条如下图所示的曲线:

Exp-Var

其中白点处即为最小方差组合(此处也再次说明,组合投资可以分散风险)。

(三种资产组合及以上,组合曲线变为一个面)

总的来说:

设资产收益率为 $R_i$,则投资组合 $p$ 的收益率为 $R_p=\sum\limits_{i=1}^N \omega_iR_i,\sum\limits_{i=1}^N\omega_i = 1$,其中 $\omega$ 指投资比例。

期望收益率:$\bar{R_p}=E(R_p)=\sum\limits_{i=1}^N\omega_iE(R_i)$;

方差: $\sigma^2(R_p)=\sigma^2(\sum\limits_{i=1}^N\omega_iR_i)=\sum\limits_{i=1}^N \omega_i^2\sigma^2(R_i)+\sum\limits_{i\ne j}\omega_i\omega_j\sigma(R_i,R_j)$

资本资产定价模型(CAPM, Capital Asset Pricing Model)

CAPM 从定价开始,推导出了人的行为、投资组合,最后又导出了定价。(均衡分析,互为因果)

 

 

局限性

 

C-CAPM

期望效用、不确定性下的决策。

前提

C-CAPM

 

期望效用(Expected Utility)

对不确定性状况下的表现优良

简单彩票模型

$\mathcal{L}$(space of (simle) lotterie):$(p_1,…,p_N),p_i\ge 0,\sum\limits_{i=1}^Np_i=1$。

不同的彩票包含不同的概率状态(消费束):如 $L_1 = (0.5,0.5)·(A,B)$。

(复杂彩票可以转换为简单彩票模型)

独立性公理(IA, Independence Axiom)

$A,B,C\in \mathcal{L},\forall \alpha \in (0,1)$,有 $A\succeq B \Leftrightarrow \alpha A+(1-\alpha)C \succeq \alpha B + (1-\alpha )C$。

期望效用定理

对于定义在 $\mathcal{L}$ 上的偏好 $\succeq$,满足理性偏好、连续偏好及独立性公理,则效用 $U(L)=\sum\limits_{i=1}^N p_iu(x_i)$。

风险厌恶的衡量,对应到 U-c 图像上,即与边际效用下降速度有关,下降速度越快,对不确定性厌恶越大。(在 c 处,同样失去 c’: Δ 和得到 c’: Δ,效用的减少量大于增加量)

风险厌恶估测

此处设效用 $u(y)=\pi u(y+h) + (1-\pi)u(y-h),h>0$,对 $\pi ^{}$ 而言,在 $y$ 处经二阶泰勒展开后可以得到:$\pi^={1\over 2}+{h\over 4}[-{u^{‘’}(y)\over u’(y)}]$;

若用 $\theta y$ 替代 $h$,则有 $\pi^*={1\over 2}+{\theta\over 4}[-{yu^{‘’}(y)\over u’(y)}]$,则有:

可以得到一个结论:风险规避系数越高,越厌恶风险,简单地可以说是边际效用下降得越快。

特殊的效用函数

 

风险资产相关

 

资产市场相关

设(从 0 期到 1 期)有 $\mathcal{S}$ 种状态数 $\Pi_s$,有回报率向量 $\tilde{r}=(r_1,…,r_\mathcal{S})^T$;

记资产零期价格:$\mathbb{P}=[p_1,…,p_J]$;

对资产 $j,1\le j \le J$,资产向量:$\mathbb{X}^j=( X_1^j,…,X_{\mathcal{S} }^j)^T$ 表示某个资产在所有状态下的支付(数量?总之并不代表价格),则定义资产市场的支付矩阵(payoff matrix)为 $\mathbb{X} = \left\begin{matrix} \mathbb{X^1},\mathbb{X^2},\cdots,\mathbb{X^J}\end{matrix}\right$;

资产组合 $\Theta=(\theta_1,…,\theta_J)^T$,则组合的零期价格为 $\mathbb{P}\Theta$,支付矩阵为 $\mathbb{X}\Theta$

则提出资产定价问题:$\mathbb{X}\rightarrow \mathbb{P}$

 

 

 

完备市场中的一般均衡

 

市场均衡时,所有人消费的波动 只与全市场的禀赋波动有关(正相关),而与自己的禀赋波动无关;此时给定 $s,s’$,若 $c_s>c_{s’}$,则 $\forall k,c_{k_s}>c_{k_{s’ } }$。

威尔逊定理:设绝对风险容忍度 $T(c)={1\over R_A(c)}=-{u’(c)\over u^{‘’}(c)}$,则 ${dc_{ks}\over de_s} = {T_k(c_{ks})\over \sum\limits_{k=1}^K T_k(c_{ks})}$。

代表性消费者:若效用函数为 HARA(抛物线型),完备市场中可认为只有一个消费者 $c=\sum_k c_k$(完全正相关)。

随机折现因子SDF, Stochastic Discount Factor):$\tilde{m} = \delta{u’(\tilde{c_1})\over u’(c_0)}$

C-CAPM

 

无套利定价

给出资产价格信息进行分析,相对定价。

只要市场无套利,则有线性关系式(线性因子模型)。

套利资产定价理论(APT, Arbitrage Pricing Theory)

只通过无套利定价去分析(因子模型,一价理论)

单因子模型:$\tilde{r_i}-r_f=\alpha_i + \beta_{i,M}(\tilde{r_M}-r_f)+\tilde{\epsilon_i}$(对应 SML 的计量模型)

Fama-Franch 三因子模型

$\tilde{r}i-r{f}=\alpha_i + \beta_{i,M}(\tilde{r}M-r{f})+\beta_{is}\widetilde{SMB}t+\beta{ih}\widetilde{HML}+\tilde{\epsilon_i}$

 

 

$\tilde{r_i}=\bar{r_i}+\sum\limits_{k=1}^K \beta_{i,k}\tilde{f_k}+\tilde{\epsilon_i},i=1,…,N»k$

假设 $E[\tilde{f_k^2}]=1,E[\tilde{\epsilon_i^2}]=\sigma_\epsilon^2<+\infty,E[\tilde{f_k}\tilde{f_{k’} }]=E[\tilde{\epsilon_i}\tilde{\epsilon_j}]=E[\tilde{f_k}\tilde{\epsilon_i}]=0$。

则构造资产组合 $\tilde{r_p}=\sum\limits_{i=1}^N w_i\tilde{r_i}$,展开之可以观测到每个因子的影响。

统计套利

(不是套利,算是抄底?(笑))

根据例如说 $\tilde{r_0}-r_f=\alpha_0 + \sum\limits_{n=1}^N\beta_n \tilde{f_n}+\tilde{\epsilon_0}$ 这样的式子预测,若过去一段时间的实际收益率更低,则根据均值回归理论,未来的实际收益率会更高。

 

远期

期货(futures):标准的远期合约

 

期权:一种权利。

普通期权

零和游戏

 

butterfly

此外,还有奇异期权(Exotic Options)。

 

单期二叉树模型

给定两种状态的可能性 $p, 1-p$ 及支付矩阵如下(其中股票使用乘性因子而非加性是为了避免负数): \(\left[\begin{matrix} Stock&Bond&Derivative\\ uS_0&e^r &C_u\\ dS_0&e^r&C_d\end{matrix}\right]\) 对 $[S_0,1,C_0]$,要求定价 $C_0$(基于无套利)。

方法 1:风险消除法定价

对 (Stock, Derivative) 确定无风险组合 $\Pi=(-\Delta, 1)$,则 $\Pi_0 = C_0 - \Delta S_0$,$\left{\begin{matrix}\Pi_u = C_u - \Delta u S_0\ \Pi_d = C_d - \Delta d S_0\end{matrix}\right .$。

有条件一: $\Pi_u=\Pi_d$,显然此刻也有条件二:$\Pi_u=\Pi_0 e^r$,由此方满足无套利定价。

$\Delta = {C_u-C_d\over (u-d)S_0}=\frac{\partial C}{\partial S}$。

方法 2:复制法定价

对 (Stock, Bond) 确定组合 $(\Delta, B)$,以复制出 Derivative 的价格,则 $C_0=\Delta S_0+B$,详细推导过程不表,跟法 1 类似。

方法 3:风险中性定价

现在假设两种情况 $(u,d)$ 的概率为 $(q, 1- q)$,则对 $S_0=e^{-r}E[\tilde{S_1}]$ 贴现求出 $q$,再带入 $C_0=e^{-r}E^Q[\tilde{C}]$ 即可。

这三种方法均可求得 $C_0=e^{-r}[{e^r-d\over u-d}C_u+{u-e^r\over u-d} C_d]$,其中 $C_u,C_d$ 系数之和为 1,我们称之为风险中性期望 $E^Q[\tilde{C}]$。

 

 

 

 

资产定价基本定理

当且仅当存在状态价格向量,市场无套利。

第二资产定价基本定理

完备市场中,无套利等价于存在唯一的状态价格向量(,也就存在风险中性概率)。

 

风险中性定价

因为无套利的前提,故风险中性定价有其合理性。

对无风险资产折现得到,$e^{-r}=\sum \phi_s·1=\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} \phi_s$,由此我们定义风险中性概率 $q_s=\frac{\phi_s}{\sum \phi_s}=e^r\phi_s,\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S}=1$。

风险中性定价:$p=\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} \phi_s X_s=e^{-r}\sum\limits_{s=1}^\mathcal{S} q_sX_s=e^{-r}E^Q[\tilde{X}]$。

一般,通过已知资产价格算出风险中性概率 q,再进行未知资产的定价

 

 

 

最优停时

不分红的 Call,不行权最好。

由期权部分,我们有 $C+Ke^{-rT}=P+S_0$,于是到 $t$ 时刻,对期权的标的物为不分红股票时,$C_t=(S_t-K)+P_t + K(1-e^{-r(T-t)})$,此时 Call 的价格如前式所示,而当此时卖出($S_t>K$),收益显然是小于 Call 的价值的(后两项大于 0),这就意味着始终持有是最好的选择。(直观理解,当 $t=0$,显然 $C$ 的价格与 $S_0-K$ 的差异有正相关性(?一开始不买会不会更好))

美式期权

由于 Call 随时可行权,故此处讨论 Put。按欧式期权的做法,期权定价价格直接以分支的期望价格折现即可;美式期权由于随时可行权,故自最后一期往前,每一期的期权定价为 $P_t=max{,e^{-r}P_{t+1} }$

按揭贷款

Even Principal Payments(等额本金还款):每月偿还金额逐月递减,其中偿还本金固定不变,偿还利息(随本金减少而)逐月递减;

Even Total Payments(等额本期还款):每月偿还金额固定不变,其中每月偿还本金逐月增加,每月偿还利息逐月减少。(偿还完利息,多余的金额用作偿还本金)

mortgage

​ 故在 $t$ 时刻,允许提前还款的前提下,该点贷款的价值为 $V_t=\min{B_t,V_t’}$。由上式,提前还款的权利降低了按揭贷款的价值。

 

Black-Scholes Fermula

  1. 独立增量过程,也即:$\forall t_0<t_1<…<t_n,X_{t_0}$,有 $X_{t_1}-X_{t_0},…,X_{t_n}-X_{t_{n-1} }$ 相互独立;

  2. $\forall s,t>0$,$\mathbb{X}(s+t)-\mathbb{X}(s)\sim \phi(0,\sigma^2t)$;

  3. 连续。

    由随机微分,对布朗运动而言,其微分 $dZ_t \sim \sqrt{dt}$,则知,布朗运动处处连续,处处不可导

    • 带漂移项的布朗运动:$dX_t=udt+\sigma dZ_t$,其中 u 为常数,意即向某固定方向做随机游走;
    • 几何布朗运动:${dS_t\over S_t}=udt+\sigma dZ_t$,其中 $S_t$ 为股价,$u$ 为常数趋势,$\sigma$ 为波动标准差。

 

方法 1:二叉树定价法

通过二叉树定价法,设每期时间趋于 0 的无穷期,最终能推导出 BS 公式。

方法 2:用股票与衍生品建立无风险组合

将股价 $S_t$ 用几何布朗运动表示,储蓄 $B_t$ 满足无风险利率增长 $dB_t=rB_tdt$,设无风险组合(股价 $S_t$ 变动对组合无影响) $(Stock,Derivative)=(\frac{\partial f}{\partial s}, -1)$,则有 $V(t,S_t)=\frac{\partial f}{\partial s}S_t - f(t,S_t)$,对其微分并与 $dV=rVdt$ 联立得到 B-S PDE (partial differential equation)

$\frac{\partial f}{\partial t}+rS_t\frac{\partial f}{\partial s}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2_t\frac{\partial^2 f}{\partial s^2}=rf$

例如在期权 $t$ 期价格 $C_t=\max{0,S_T-K}$ 约束下可得到 B-S 方程。

方法 3:鞅方法▲

在 EMM (等价鞅测度) 下得到 $S_T=S_0e^{rT}$,又由几何布朗运动等可得到 $S_T=S_0\exp[(u-\frac{1}{2}\sigma^2)T+\sigma\int_{t=0}^T dZ_t]$,算得 $S_T=S_0 e^{uT}$,联立后得到:$logS_T\sim \Phi[(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T,\sigma^2T]$。

与 $E(C_T)=E(\max{0,S_T-K})$ 和 $P $ 联立求期望即可得到最终的 B-S 期权定价公式(欧式): \(\begin{align*} &C_0=S_0N(d_1)-e^{-rT}KN(d_2)\\ & P_0=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1)\\ \\ \mathrm{where}\ &d_1=\frac{log(S_0/K)+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T} }\\ &d_2=\frac{log(S_0/K)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T} }=d_1-\sigma\sqrt{T}\\ &\mathrm{N}: \mathrm{cumulative\ distribution\ function\ of\ standard\ Normal} \end{align*}\) 故其使用条件为: \(\begin{align*} &\mathrm{Input}:S_0,K,r,T,\sigma\\ &\mathrm{Output}:C_0,P_0 \end{align*}\)

Hedge

通过 Delta Hedge,可以使用股票 $S$ 和无风险资产 $B$ 形成等价于期权 $C/P$ 的组合,使得每一期的现金流恰与期权一致。例如当写期权时,可对之动态对冲。

 

金融摩擦

 

最后几讲笔记会比较简略。

信息对称

Principal(设计合约,信息劣势) - Agent(选择接受与否,信息优势)

contract theory 契约理论

M-M Theorem

阿罗德布鲁市场中,公司价值和其结构无关。

尽管现实市场中存在坏企业,当信息不对称时,市场会出现以下两种情况:坏企业太多,市场崩溃;坏企业较少,投资的期望由好企业向坏企业进行了隐性的”补贴”(cross-subsidization)。

啄序理论

公司筹资的顺序:内部筹资、债券筹资、股票筹资。因为这样不会传递对公司股价产生不利影响的消息。(股票的信息含量是最大的)

 

期限错配

资产端期限和负债端期限不匹配,主要表现为”短存长贷”:资金来源主要是短期信贷,但资金流向却是(高收益的)长期贷款。

金融中介

简而言之即银行。

银行的功能所在:通过承担期限错配的风险,为储蓄者提供期限转换的服务。

具体解释如下,分析以下理想的资产案例:

Time 0 1 2
short(c1) 1 1 1
long(c2) 1 -> R(>1)

设效用函数 $U(c_1,c_2)=\left{\begin{matrix}u(c_1),P_1=\lambda\ u(c_2),P_2=1-\lambda \end{matrix}\right .$,其中概率为此人为 short/long investor 的概率。

则期望效用 $E(U)=\lambda u(c_1) + (1-\lambda) u(c_2)$。

设资产分配比例为 $(\theta, 1-\theta)$,则分三种情况进行讨论:

  1. Autarky(自给自足)

    $E(U)=\lambda u(\theta)+(1-\lambda)u(\theta+(1-\theta)R)$

    求导得当 $\lambda u’(c_1)=(1-\lambda)(R-1)u’(c_2)$,有此刻的最大化效用 $E(U^{ATK})$。

    此时效用为保留效用,是无论如何都能达到的最大效用,故为下限

  2. Market

    此时 1 期时资产可交易。

    设 1 期的长期资产价格 $P=1$(不等于 1 时易推出矛盾),易得 $c_1^{MKT}=1,c_2^{MKT}=R$。

  3. C.P.(仁慈的中央计划者)

    设该 C.P. 知道所有人($N$ 足够大)的 short/long probability,则秉承不浪费资源、最大化效用的原则,有以下约束条件:$\left{ \begin{matrix}\lambda Nc_1=\theta N\(1-\lambda)Nc_2=(1-\theta)NR \end{matrix}\right.$,带回原式并求导得 $u’(c_1^{BST})=Ru’(c_2^{BST})$ 时有最大效用 $E(U^{BST})$。

    (此时的足够大可看作投资可无限可分的一个人)

三种情况的效用图如下:

mortgage

而银行在理想情况下正如 BST 情形,与无差异曲线相切时提供了最大效用。

 

影子银行

无严格监管、完善风控机制的银行业务,易发生银行挤兑,使金融市场出现问题。

此外,影子银行易采取高杠杆进一步加大风险。

 

 

 

结语

理论永远是理论,真实有效的市场远不止理性人假设。

跳出框架,才能够体会到市场的真实。