参考近世代数(第二版)- 韩士安大概走了一遍定义,看完只觉得真不愧乃抽象代数,感觉啥都没学会。
这里作下记录以方便查询。
零化多项式:$g(\lambda)$ s.t. $g(A)=O$,称 $g(\lambda) $ 为 $A$ 的零化多项式。
e.g. $A^n=E$,则 $g(\lambda)=\lambda^n - 1$。
关系$R$:对集合$S$中的任意有序对$(a,b)$均能确定是否满足条件$R$,则称$R$为关系(二元关系)。
等价关系$a\sim b$:满足反身性(ARA)、传递性(ARB,BRC->ARC)、对称性(ARB,BRA)。
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等价类:$[a]={x\in S\mid x\sim a}$
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商集:S(在等价关系~下)的全体等价类的集合,记作$S/\sim$。
Z的一个(与a同余的)模m剩余类:$a={a+mz\mid z\in \Z}$;
对应的商集记作 $\Z_m$,称为Z的模m剩余类集;
即:$\Z_m = {\overline{0},\overline{1},…,\overline{m-1}}$。
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分类:S是它的某些两两不相交的非空子集的并,则称这些子集为一种分类;其中每个子集称为S的一个类。
例:$\Z$ 的一种分类:$\Z_m$。(每一种等价关系都确定了一种分类)
群:满足:封闭性、结合律、单位元、逆元。
- 阿贝尔群:满足交换律的群。
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无限群:群的元素个数(阶)$\mid G\mid$ 无限。
- $Z$ 的模 $m$ 单位群:$(U(m),·)$。其中 $U(m)={\overline{a}\in \Z_m \mid (a,m)=1}$($\mid U(m)\mid = \phi_m$);
- 当 m 为素数p时,$U(p)$ 也记作 $\Z_p^$,易知 $\Z_p^=(\Z/\equiv)=\Z_p$(模p剩余类集)
- 子群:群的子集关于其运算也构成群,记作 $H<G$(H是子群,G是群)。
- 平凡子群:$G$ 本身、$H={e}$。
同构(映射) $\phi$:设 $G,G’$ 是两个群,$\phi$ 是 $G$ 到 $G’$ 的一一对应,使得:$\phi(a·b)=\phi(a)*\phi(b),\forall a,b\in G$。
称 $G\cong G’$,同构。
- 恒等映射 $\iota:G\rightarrow G,a\rightarrow a$,显然: $\iota(ab)=ab=\iota(a)\iota(b)$。($\iota$ 为 G 的一个自同构(恒等同构))
注:群的同构是一个等价关系。
在同构映射之下,对应的元素在各自的运算之下有相同的关系——同构的群具有完全相同的群性质。
对称群:全体可逆变换关于变换的合成所构成的群 $S_x$;(若群 $X$ 中仅有 $n$ 个元素,则称 $n$ 阶对称群并记作 $S_n$)
- $S_x$ 的任一子群称为变换群。(凯莱定理:每一个群都同构于一个变换群);称 $S_n$ 的子群为置换群。
- $X$ 的一个可逆变换叫做一个 $n$ 阶置换。
- 这部分剩下略过了
阶:使 $a^r=e$ 的最小正整数 $r$ 称为元素 $a$ 的阶,记作 $ord\ a=r$。
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$ord\ a = n$,则 $ord\ a^m={n\over (n,m)}$;
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$ord\ a=n,ord\ b=m$,若 $ab=ba,(n,m)=1$,则 $ord\ ab=nm$。
循环群:$G=$,其中 $a$ 为 $G$ 的一个生成元。若群阶有限,则恰有 $\phi(\mid G\mid=n)$ 个生成元,为 ${a^r\mid (r,n) = 1}$。
- $(n,r)=d$,则 $<a^r>=<a^d>$;
- $\mid G\mid =n$,则 $G$ 的全部子群为 ${<a^d>\mid (d\mid n,d>0)}$
乘积:$AB={ab\mid a\in A,b\in B}$
- 若 $gA=gB$,则 $A=B$;
- 若 $H$ 为 $G$ 的子群,则 $H·H=H$;
- 若 $A,B$ 是子群,则 $AB$ 也是子群的充要条件是 $AB=BA$。
陪集:$H$ 是 $G$ 的子群, $aH={ah\mid h\in H}$ 称为 H 在 G 中的左陪集。
- $aH=H$ 的充要条件 $a\in H$;
- $aH$ 为子群的充要条件 $a\in H$;
- $aH=bH$ 的充要条件:$a^{-1}b\in H$,也即 $b\in aH$。
- $aH,bH$ 要么无交,要么相同;
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$\mid aH\mid =\mid bH\mid$。
- 用 $G/H,H\backslash G$ 分别表示 $H$ 的全体左陪集和右陪集的集合。
指数:子群 H 在 G 中左陪集或右陪集的个数:$[G:H]$。
拉格朗日定理:$G$ 为一有限群,$H$ 是 $G$ 的子群,则 $\mid G\mid=\mid H\mid [G:H]$。
正规子群(不变子群):对于 $\forall a\in G$,都有 $aH=Ha$,则称 $H\lhd G$。
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平凡正规子群:略;
- 若 G 只有平凡正规子群,且 $G\ne {e}$。
- 交换群的子群都是~;
- $[G:H]=2$,则 $H$ 为正规子群。
- 判定定理: (1)$\forall a,h\in G,H:aha_1\in H$;(2)$\forall a\in G,aHa^{-1}=H$;(3)$\forall a\in G,aHa^{-1}\subseteq H$。
定义:(对正规子群)陪集的乘法 $(aH)·(bH)=(ab)H$ (其中陪集代表元素的选取不影响结果)
若 $H$ 为正规子群, 则 $G/H$ 关于陪集的乘法 $(aH)·(bH)=(ab)H$ 构成群。
商群:就上面这个群(只是陪集添加了一个运算法则)就叫商群(群 $G$ 关于子群 $H$ 的商群,仍记作 $G/H$);其单位元为 $eH=H$,$aH$ 的逆元为 $a^{-1}H$。
同态映射:把“一一对应”换成“映射”的同构映射。(即:当同态映射 $\phi$ 既是单同态又是满同态时,$\phi$ 为 $G$ 到 $G’$ 的同构映射)(但仍然需要对 $\forall a\in G$ 都满足)
与同构一样,群同态保持了群双方的运算,但却不要求群的元素之间是一一对应的,因此可以说,群同态是群同构的概念的自然推广。
- 自然同态:$\eta:G\rightarrow G/H,a\rightarrow aH$。则 $\eta$ 为满映射,且 $\forall a,b\in G,\eta(ab)=(ab)H=aH·bH=\eta(a)\eta(b)$
设 $\phi$ 为 $G$ 到 $G’$ 的映射,$A,B$ 分别为 $G,G’$ 的非空子集。
(子集 $A$ 在$\phi$ 下的)象: $\phi(A)={\phi(x)\mid x\in A}$;
原象:$\phi^{-1}(B)={x\in G\mid \phi(x)\in B}$。
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子群和正规子群的关系,在同态映射下是继承的。
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核:$Ker\ \phi$:$e’$ 在 $G$ 中的原象($\phi^{-1}({e’})={a\in G\mid \phi(a)=e’}$)。
群同态基本定理:设 $\phi$ 为一满同态,$K=Ker\ \phi$,则 $G/K\cong G’$。(从同构的观点来看,群的同态象就是群的商群)
群的直积:
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外直积($G=G_1×G_2$):$G={(a_1,a_2)\mid a_1\in G_1,a_2\in G_2}$,定义乘法运算 $(a_1,a_2)·(b_1,b_2)=(a_1b_1,a_2b_2)$。则 $G$ 关于上述定义的乘法构成群,称为群 $G_1,G_2$ 的外直积。
- $G_1×G_2\cong G_2×G_1$
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$\mid G\mid = \mid G_1\mid · \mid G_2\mid$
- $G_1,G_2$ 分别是 m, n 阶的循环群,则 $G_1×G_2$ 是循环群的充要条件是 $(m,n)=1$
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内直积:设 $H,K$ 是群 $G$ 的正规子群,若群 $G$ 满足:$G=HK,H∩K={e}$,则 $G$ 是 $H,K$ 的内直积。
- 充要条件:(1) $G$ 中每个元素可唯一表示为 $hk$ 的形式,$h,k\in H,K$;(2) $\forall h,k \in H,K,hk=kh$。
若 $G$ 为正规子群 $H,K$ 的内直积,则 $H×K\cong G$;反之,若 $G=G_1×G_2$,则存在正规子群 $G’_1,G’_2\subseteq G$ 与 $G_1,G_2$ 同构,使 $G$ 为 $G’_1,G’_2$ 的内直积。
推广:设 $G_i$ 是有限多个群,构造集合 $G={(a_1,…,a_n)\mid a_i\in G_i}$,并在 $G$ 中定义运算
$(a_1,…,a_n)·(b_1,…,b_n)=(a_1b_1,…,a_nb_n)$,则 $G$ 关于上述运算构成群,称为群 $G_1,…,G_n$ 的外直积。
同样,内直积也可推广,满足那两个条件就行了。
同样有定理,若群 $G$ 是有限多个子群 $H_1,…,H_n$ 的内直积,则 $G$ 同构于 ${H_i}$ 的外直积。
环:(1) 非空集合 $R$ 关于加法构成交换群;(2) 乘法结合律成立;(3) 乘法对加法分配律成立。
则称 $(R,+,·)$ 为一个环。
零元:0,加法单位元;负元:$-a$,加法逆元;单位元:$ae=ea=a,\forall a\in R$;单位:就是可逆元。
- 若乘法还满足交换律,称交换环;
- 环不一定有单位元,但有则定唯一;
- 对于一个有单位元的群,其所有可逆元组成的集合关于环 $R$ 的乘法构成群,称为环 $R$ 的单位群,记作 $U(R)$.
- 环中可以定义减法、倍数、指数法则等。注意:若元素 $a$ 不可逆,则 $a^0,a^{-n}(n>0)$ 通常无意义;当 $ab\ne ba$,$(a·b)^n=a^nb^n$ 一般也不成立。
除零环 $R={0}$ 外,单位元不等于逆元。
模m剩余类环:$\Z_m={\overline{0},…,\overline{m-1}}$,其单位群是 $U(m)$。
子环:记作 $S<R$。
充要条件:(1) $(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的加法子群;且 (2) $S$ 关于 $R$ 的乘法封闭。
也即:$\forall a,b\in S:a-b\in S;ab\in S$。
- 环与子环单位元的存在性无关
- 设 $I $ 为 $\Z$ 的子环,则存在唯一的非负整数 $d$ 使得 $I=d\Z={dz\mid z\in \Z}$;由此知整数环 $\Z$ 的所有子环是 $\Sigma = {d\Z\mid d\in Z, d\ge 0}$。
中心:$C(R)={r\in R\mid rs=sr, \forall s\in R}$(它也是一个子环)
零因子:$a,b\in R;a,b\ne 0$,若 $a·b=0$,则称 a 为左零因子;b 为右零因子。
无零因子环:如其名。例如:整数环 $\Z$,偶数环 $2\Z$,数域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$。
- 对无零因子环,消去律成立。($\forall a,b,c\in R,c\ne 0,ac=bc\rightarrow a=b$);反之,环为无零因子环。
整环:有单位元 $e\ne 0$ 的无零因子交换环。例如:整数环 $\Z$,数域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$。
-
高斯整环 $\Z[i]={a+bi\mid a,b\in \Z}$,其单位(可逆元)有四个,为 $1,-1,i,-i$。类似可证:对任意无平方因子的整数 $d\ne 1$,有整环 $\Z[\sqrt{d}]={a+b\sqrt{d}\mid a,b\in \Z}$。
整环是一类与整数环性质最为接近的环。
域:有单位元 $1_F\ne 0$ 的,每个非零元都可逆的交换环。(一定是整环)例:$Q,R,C$ 分别称为有理数域、实数域和复数域。(即加法、乘法均满足交换群且乘法对加法有分配律)
- 设 $p $ 为素数,则 $\Z_p$ 是一个含 $p$ 个元素的有限域。
除环:交换的除环就是域,非交换的除环称为体。
理想:$R$ 为环,$I$ 为 $R$ 的非空子集, $I$ 满足:(1) $\forall r_1,r_2\in I,r_1-r_2\in I$;(2) $\forall r\in I,s\in R,rs,sr\in I$,记作 $I\lhd R$;若又有 $I\subsetneq R$,则称真理想。(定义知,理想一定是子环)
- 平凡理想:$R$ 和 ${0}$。
- 运算:
- 和:$I+J={a+b\mid a\in I,b\in J}$;
- 交:$I∩J$。
- 任意多个有限理想的和还是理想;任意多个理想的交还是理想。
-
主理想:设 $a\in R,\Sigma={I\lhd R\mid a\in I}$。则 $=\cap_{I\in \Sigma}I$ 称为 $R $ 的由 $a$ 生成的主理想。
设 $R$ 为环,$a\in R$,则:(别问为什么,问就不知道)
- $={\sum\limits_{i=1}^n x_iay_i+xa+ay+ma\mid x_i,y_i,x,y \in R,n\in N,m\in Z}$; 2. $R$ 有单位元:$={\sum\limits_{i=1}^n x_iay_i\mid x_i,y_i \in R,n\in N}$; 3. 交换环:$={xa+ma\mid x \in R,m\in Z}$; 4. 有单位元的交换环:$=aR={ar\mid r\in R}$。
推论得:整数环 $\Z$ 、模m剩余类环 $\Z_m$ 的每个理想都是主理想。
设 $<a_1,…,a_s>=
商环:设 $R$ 为一个环, $I $ 是 $R$ 的一个理想,则 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的一个子加群,从而是其一个正规子群,于是有商群:$R/I={\overline{x}=x+I\mid x\in R}$(陪集集合);定义加法:$\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}$(子群 $I+I=I$);乘法:$\overline{x}·\overline{y}=\overline{xy};x,y\in R$,(实在不想打字了,)其证明见下。
这张图她不见了。
称环 $R/I$ 为环 $R$ 关于它的理想 $I$ 的商环。
- $\overline{0}=I$ 为其零元;
- 若 $R$ 有单位元 $e\notin I$,则 $\overline{e}=e+I$ 为 $R/I$ 的单位元;
- 若 $R$ 为交换环,则 $R/I$ 也是交换环。
易知,$\Z/
环的同态:映射 $\phi:R\rightarrow R’$,$\forall a,b\in R:\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b);\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$。
定理:(1) $\phi(0R)=0{R’}$; (2) $\phi(na)=n\phi(a)$; (2) $\phi(a^n)=(\phi(a))^n$
若两环都有单位元,则环同态满足:
- 若为满同态,则 $\phi(e)=e’$;
同态基本定理:称 $Ker\ \phi={a\in R\mid \phi(a)=0 }$
$Ker\ \phi$ 为 $R$ 的理想。
环同态基本定理:设 $\phi$ 为一满同态,则有环同构 $\tilde{\phi}:R/Ker\ \phi\cong R’$。
环的扩张定理:设 $\overline{S}$ 和 $R$ 是两个没有公共元素的环,$\overline\phi $ 是环 $\overline S$ 到 $R$ 的单同态,则存在 $S$,与环 $R$ 同构;以及由环 $S$ 到 $R$ 的同构映射 $\phi$ ,使得 $\overline{S}$ 为 $S$ 的子环且 $\phi\mid_{\overline{S} }=\overline{\phi}$。
并称 $S$ 为 $\overline{S}$ 的扩环。构造为 $S=(R-\overline{\phi}(\overline{S}))\cup \overline{S}$,$\phi(x)=\overline\phi(x)\ if\ x\in \overline{S}\ else\ x$。
素理想:$R$ 为一交换环,$P$ 为其真理想。若对任意的 $a,b\in R$,由 $ab\in P$,可推出 $a\in P\Arrowvert b\in P$。则称 $P$ 为 $R$ 的一个素理想。
-
设 $n$ 为正整数,证明:$
$ 为 $\Z$ 的素理想的充要条件是 $n$ 为素数。($\{0\}$ 也是 $\Z$ 的素理想) -
设 $R$ 是有单位元 $e\ne 0$ 的交换环,$I$ 是 $R$ 的理想,则 $I$ 是 $R$ 的素理想的充要条件是:$R/I$ 是整环。
极大理想:设 $R$ 是一个交换环,$M$ 是 $R$ 的真理想。若对 $R$ 的任一包含 $M$ 的理想 $N$ ,必有 $N=M\Arrowvert N=R$,则称 $M$ 为 $R$ 的一个极大理想。
- 设 $p$ 是正整数,则 $<p>$ 是 $\Z$ 的极大理想的充要条件是 $p$ 是素数。
-
设 $R$ 是有单位元 $e$ 的交换环,$I$ 为 $R$ 的理想,则 $I$ 是 $R$ 的极大理想的充要条件是 $R/I$ 是域。
- 设 $R$ 是有单位元的交换环,则 $R$ 的每个极大理想都是素理想。
(环的)特征:若对环 $R$ 有最小的正整数 $n$,使得 $\forall a\in R,na=0$,则称 $n$ 是环 $R$ 的特征;否则其特征 $Char\ R = 0$。
注意:对于环,$Ker$ 和 $Char$ 的概念都比之群不同。
- 一般地,如果 $R$ 是一个数环,则 $Char\ R = 0$;
- $Char\ \Z_m = m$,类似地,$Char\ Z_m[x]=m$;
- 设 $R$ 是有单位元 $e$ 的环。若 $e$ 关于加法的阶无穷大,则其特征为0,若为n,则特征为n;
- 整环和域的特征是 0 或一个素数。
设 $R$ 是有单位元的环:
(1) 若 $R$ 的特征为 $n>0$,则 $R$ 包含一个与 $\Z_n$ 同构的子环;
(2) 若为 0,则包含一个与 $\Z$ 同构的子环。
素域:不含任何真子域的域。
设 $F$ 是域:
(1) 若 $F$ 的特征是素数 $p$,则 $F$ 包含一个与模 $p$ 剩余类环 $\Z_p$ 同构的素域;
(2) 若为 0,则包含一个与 $\Q$ 同构的素域。
若多项式 $f(x)$ 的系数属于某个数域或数环,则称 $f(x)$ 为该数域或数环上的多项式。
以下总假定:环 $R$ 有单位元,并用 1 表示环 $R$ 的单位元。
未定元:设 $\overline{R}$ 是 $R$ 的扩环,$x$ 是 $\overline{R}$ 中的一个元素,若 $x$ 满足:
(1) $\forall r\in R,xr=rx$;
(2) $1x=x$;
(3) 对 $R$ 的任意一组不全为零的元素 ${a_i}$,$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n\ne 0$,
则称 $x$ 为 $R$ 上的一个未定元。
- 若 $R$ 为一个有单位元的环,则一定存在环 $R$ 上的一个未定元 $x$。
- $R$ 上的形式幂级数环:记作 $R[[x]]$,由所有形如 $a_0+a_1x+…+a_nx^n+…$ (形式幂级数)所组成的环,在组合数学中有重要应用。
$R[x]={a_0+…+a_nx^n\mid n\ge 0,a_i\in R}$ 关于 $\overline{R}$ 的运算构成 $R$ 的一个扩环。
多项式环:设 $R$ 是一个有单位元的环,$x$ 是 $R$ 的一个未定元,称环 $R[x]$ 为 $R$ 上的以 $x$ 为未定元的一元多项式环。
对任意一个有单位元的环,一定存在其上的一个一元多项式环。下面的定理则说明环 $R$ 上的一元多项式环本质上是唯一的:
-
设 $R$ 和 $R’$ 是两个有单位元的环,$x$ 和 $y$ 分别是其上的未定元。若 $R\cong R’$,则 $R[x]\cong R’[y]$。
-
$R$ 的零元0、单位元也是 $R[x]$ 的零元0、单位元。$R$ 若为无零因子环($R[x]$ 的单位也就是 $R$ 的单位)、交换环或整环,则 $R[x]$ 也是。
定理:每一个整环都可以扩充为一个域,且称该域 $Q$ 为整环 $D$ 的商域。通过一系列运算可知:$Q$ 的每个元素都可表为 $ab^{-1},a,b\in D,b\ne 0$ 的形式,又由 $Q$ 是域,故可记 ${a\over b}=ab^{-1}$。这样:$Q={ {a\over b}\mid a,b\in D,b\ne 0}$。
构造:
-
构造集合 $S={(a,b)\mid a,b\in D,b\ne 0}$
-
定义 $S$ 上的等价关系:$\forall (a,b),(c,d) \in S$,令 $(a,b)\sim (c,d) \iff ad=bc$。
-
由等价关系得到商集 $F=S/\sim = {[{a\over b}]\mid a,b\in D,b\ne 0}$。(记 $S$ 中 $(a,b)$ 所在的等价类为 $[{a\over b}]={(c,d)\in S\mid (c,d)\sim (a,b)}$)
-
定义 $F$ 的运算并证明相关性质,使 $F$ 构成一个域: \(\forall [{a\over b}],[{c\over d}] \in F:\\ [{a\over b}]+[{c\over d}]=[{ad+bc\over bd}],\\ [{a\over b}]·[{c\over d}]=[{ac\over bd}].\)
- 由 $F$ 构造一个包含 $D$ 的域 $Q$:令 $\phi:D\rightarrow F, x\rightarrow [{x\over 1}]$。则 $\phi$ 为 $D$ 到 $F$ 的映射。
证明 $\phi$ 为一个单同态,且 $D\cap F = \empty$,从而由环的扩张定理知:$\exists Q$ 为 $D$ 的扩环,及环同构 $\tilde{\phi}:Q\cong F$。由于 $F$ 为域,则 $Q$ 也是域。
- 整数环 $\Z$ 的商域就是有理数域 $\Q$;
- 高斯整环 $\Z[i]$ 的商域是 $Q[i]={a+bi\mid a,b \in \Q}$;
- 域 $F$ 的商域就是其本身;
- 域 $F $ 上的一元多项式环 $F[x]$ 是一个整环,其商域是 $F[x]$ 的有理分式域:$F(x)={ {f(x)\over g(x)}\mid f(x),g(x)\in F[x],g(x)\ne 0 }$;
- $D,D’$ 是同构的两个整环,则其商域也同构。
约定:本节以后:$D$ 表示整环,$F$ 表示整环 $D$ 的商域,$U$ 表示 $D$ 的单位群,1, 0 分别表示 $D$ 的单位元和零元。
整除:设 $D$ 是整环,$a,b\in D$。若 $\exists c\in D\ s.t.\ a=bc$,则称 $b$ 是 $a$ 的一个因子,$b$ 整除 $a$,记作 $b\mid a$。否则记作 $b\nmid a$。
-
$a\in D$,则对 $D$ 的任一可逆元 $u$,$u,au$ 都是 $a$ 的因子,这两类因子统称为 $a$ 的平凡因子。如果有非平凡因子,则称为真因子。
-
$a,b\in D$,若 $a\mid b,b\mid a$,则称 $a,b$ 相伴,记作 $a\sim b$。
-
设 $D$ 整环,$a,b\in D$,则下列条件等价:
(1) $a\sim b$;
(2) $=$;
(3) $\exists u\in D,s.t.\ a=bu$。
-
不可约元:整环 $D$ 中非零非单位且无真因子的元素称为 $D$ 的不可约元。
素元:设 $p$ 是 $D$ 的一个非零非单位的元素,若 $\forall a,b\in D$,由 $p\mid ab$ 可以推出 $p\mid a \Arrowvert p\mid b$,则称 $p$ 为 $D$ 的一个素元。
-
$p$ 及其相伴元是否为素元(或不可约元)保持一致。
- 在整环中,每个素元都是不可约元。
- 在整数环中,每个素数既是不可约元也是素元(不可约元都是素元这一说法在一般的整环中并不成立)。
范数:设 $d\ne 1,0$ 且为无平方因子的整数,对任意的 $a+b\sqrt{d}\in Q[\sqrt{d}]$,称 $\mathcal{N}(a+b\sqrt{d})=\arrowvert a^2-db^2\arrowvert$。
设 $D$ 为一整环,$a$ 是 $D$ 的一个非零非单位的元素:
(1) 如果存在有限多个不可约元 ${p_i}$ 使得 $a=p_1…p_s$,则称 $a$ 有不可约分解,并称上述分解式为 $a$ 的一个不可约分解。
(2) 如果 $a$ 有不可约分解,并且 $a$ 的不可约分解在相伴的意义下是唯一的,即:若 $a$ 有两个不可约分解 $a=p_1…p_s=q_1…q_t$,则 $s=t$,且适当交换次序,有 $p_i\sim q_i,i=1,2,…,s$,则称 $a$ 有唯一分解。
唯一分解整环(UFD):设 $D$ 是一个整环,若 $D$ 中每一个非零非单位的元素都有唯一分解,则称 $D$ 为唯一分解整环。
- $\Z$ 是唯一分解整环。
- 在 UFD 中,每一个不可约元都是素元。
真因子链:设 $D$ 是整环,$a_1,a_2,…,a_n,…$ 是 $D$ 中的一列元素(可以无限多个)。若对任意的 $i>1$,$a_i$ 为 $a_{i-1}$ 的真因子,则称上述元素列为 $D$ 的一个真因子链。
定理:在唯一分解整环中,每一个真因子链都是有限的。
定理:整环 $D$ 是唯一分解整环的充要条件是:
(1) $D$ 中的每一个真因子链都有限; (2) $D$ 的每一个不可约元都是素元。
标准分解式:设 $D$ 是唯一分解整环,$a$ 是 $D$ 的一个非零非单位的元素,则 $a$ 有唯一分解。设 $a$ 的所有互不相伴的不可约因子为:$p_1,p_2,…,p_s$。则对 $a$ 的任一不可约因子 $p$,有 $p_i$ 使 $p\sim p_i$。从而 $a$ 的分解式可表示为:$a=\epsilon p_1^{r_1}…p_s^{r_s}$,其中 $\epsilon$ 为 $D$ 的单位,$r_1,…,r_s\in \N$。称该式为 $a$ 的标准分解式。
最大公因子:设 $D$ 是一个整环,$a,b,d\in D$,若 $d$ 满足:
(1) $d\mid a$, $d\mid b$,即 $d$ 是 $a,b$ 之公因子; (2) 如果 $c$ 是 $a$ 和 $b$ 的任一公因子,则有 $c\mid d$,则称 $d$ 是 $a,b$ 的一个最大公因子,记作 $d=gcd(a,b)/(a,b)$。
-
在唯一分解整环中,任意两个元素都有最大公因子。
-
由此,则可定义 互素 等概念。
主理想整环(PID):设 $D$ 是一个整环,如果 $D$ 的每一个理想都是主理想,则称 $D$ 为主理想整环。
-
$\Z$ 是主理想整环。
-
主理想整环的每一个真因子链都有限;
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主理想整环上对非零非单位的元素 $a$,下列条件等价:
最大公因子的存在表示定理:设 $D$ 是一个主理想整环,则对任意的 $a,b\in D$,存在 $u,v\in D$,使得 $gcd(a,b)=ua+vb$。
欧几里得整环(ED):设 $D$ 是整环。如果存在映射 $\phi: D-{0}\rightarrow \N\cup{0}$,使对 $\forall a,b\in D,b\ne 0$,$\exists q,r\in D$,使 $a=bq+r$,其中 $r=0$ 或 $\phi(r)<\phi(b)$,则称 $D$ 为一个欧几里得整环;常称 $\phi$ 为欧式映射。
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每一个 ED 都是PID,因而也是 UFD。
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设 $F$ 为域,则 $F[x]$ 为欧几里得整环——也是 PID, UFD。
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有个定理:唯一分解整环上的多项式环还是唯一分解整环。
向量空间:设 $V$ 是一个带有加法运算的非空集合,$F$ 是一个域。如果 $V$ 关于加法运算构成一个交换群,并且对每个 $k\in F,v\in V$,在 $V$ 中可唯一地确定一个元素 $kv$(称 $k,v$ 的标量乘法),使得对 $\forall k,l\in F,u,v\in V$,满足:$(1) (kl)v=k(lv); (2) (k+l)v=kv+lv; (3) k(u+v)=ku+kv; (4) 1v=v$,则称 $V$ 为域 $F$ 上的一个向量空间,空间中的元素称为向量,域中的元素称为标量。域 $F$ 称为向量空间的基域。
子空间:设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间,$U$ 是 $V$ 的非空子集。如果 $U$ 关于 $V$ 的运算也构成 $F$ 上的向量空间,则称 $U$ 为 $V$ 的子空间。
- 设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间,$v_1,…,v_n$ 是 $V$ 中的向量(不必互不相同),那么子集 $<v_1,…,v_n>={a_1v_1+…+a_nv_n\mid a_1,…,a_n\in F}$ 称为 $V$ 的由 $v_1,…,v_n$ 张成的子空间。形如 $a_1v_1+…$ 的元素称为 $v_1,…,v_n$ 的线性组合。若 $<v_1,…,v_b>=V$,则称 $v_1,…,v_n$ 张成 $V$。一般地,设 $B$ 是 $V$ 的任一非空子集,若 $V$ 中任一元素都是 $B$ 中有限多个元素的线性组合,则称 $B$ 张成 $V$。
基:设 $V$ 是 $F$ 上的向量空间,$B$ 是 $V$ 的一个非空子集。如果 $B$ 中任一有限子集都在 $F$ 上线性无关,且 $B$ 张成 $V$,则称 $B$ 为 $V$ 的基。
- 如果两向量集合${u_1,…,u_m},{w_1,…,w_n}$ 都是域 $F$ 上 $V$ 的基,则 $m==n$。
以有限多个元素为基的空间(包括零空间)称为有限维向量空间,否则称为无限维向量空间。
维数:如果一个向量空间 $V$ 具有一个含 $n$ 个元素的基,则称 $V$ 的维数是 $n$,零空间 ${0}$ 称为是由空集构成的,并规定其维数为 0;无限维向量空间的维数规定为无限大 $+\infin$。域 $F$ 上向量空间 $V$ 的维数记作 $dim_FV$。
扩域:若对域 $F,E$ ,$F\subseteq E$,且 $F$ 中的运算就是 $E$ 的运算在 $F$ 上的限制,则称 $E$ 为 域 $F$ 的扩域,而称 $F$ 为 $E$ 的子域。
由前节知,任一域都是某一素域的扩域,且从同构以见,素域仅有 $\Q,\Z_p$ 两类,故理论上,掌握它们的所有扩域,即掌握了所有的域。
$F(S)$:$E$ 的添加集合 $S$ 于 $F$ 的子域。(是 $E$ 的包含 $F,S$ 的最小子域)
- 记 $F({a})=F(a)$,称之为 $F$ 的单扩张,易得 $\tilde{F}=F(a)={ {f(a)\over g(a)}\mid f(x),g(x)\in F[x],g(a)\ne 0)}$。
- 类似地,可得 $F(a_1,…,a_s)={ {f(a_1,…,a_s)\over g(a_1,…,a_s)}\mid f,g\in F[x_1,…,x_s],g \ne 0 }$。
- 若记 $F[a]={f(a)\mid f(x) \in F[x]}$,由前可知 $F(a)$ 即 $F[a]$ 的商域。
有限扩张:设 $E$ 是 $F$ 的扩域,若 $E$ 作为 $F$ 上的向量空间是有限维的,则称 $E$ 是 $F$ 的有限扩域或有限扩张;否则称 $E$ 是 $F$ 的无限扩张。$E$ 在 $F$ 上的维数 $dim_FE$ 称为 $E$ 关于 $F$ 的扩张次数,记作 $[E:F]$。
定理:设 $K$ 是域 $E$ 的有限扩域,$E$ 是域 $F$ 的有限扩域,则 $K$ 是域 $F$ 的有限扩域,且 $[K:F]=[K:E]·[E:F]$。
进一步可得:$E_1\subseteq…\subseteq E_s$ 为一扩域链,则 $[E_s:E_1]=[E_s:E_{s-1} ]…[E_2:E_1]$。
域论基本定理:设 $F$ 是域,$f(x)$ 是 $F[x]$ 中次数大于零的多项式,那么存在 $F$ 的扩域,使得 $f(x)$ 在此扩域中有根。
定义:设 $E$ 为域 $F$ 的扩域,$a\in E$,若存在 $F$ 上的非零多项式 $f(x)$,使得 $f(a)=0$,则称 $a$ 为 $F$ 上的一个代数元;否则称之为超越元。
如果 $E$ 上每个元素都是代数元,则称 $E$ 是 $F$ 的代数扩张;否则称超越扩张。
有理数域上的代数元称为代数数,否则称为超越数。
如何区分,定理:设 $E$ 是域 $F$ 的扩域,$a\in E$。
- 若 $a$ 是 $F$ 上的超越元,则 $F(a)$ 同构于 $F[x]$ 的商域 $F(x)$;
- 若是代数元,则 $F(a)$ 同构于 $F[x]/<p(x)>$,其中 $p(x)$ 是 $F[x]$ 中任意一个以 $a$ 为根的不可约多项式。
知,上述所言 $p(x)$ 在相伴意义下是由域 $F$ 上的代数元 $a$ 唯一确定的,故要求 $p(x)$ 的首相系数为 1,则这样的不可约多项式 $p(x)$ 必然唯一。这个唯一的首一不可约多项式 $p(x)$ 称为元素 $a$ 在域 $F$ 上的极小多项式,记作 $m_a(x)$,并称 $m_a(x)$ 的次数为 $a$ 在 $F$ 上的次数,记作 $deg(a)$。
推论:设 $a$ 是 $F$ 上的代数元,$p(x)$ 是 $F$ 上的一个首一多项式,则下述条件等价:
- $p(x)$ 是 $a$ 在域 $F$上的极小多项式;
- $p(x)$ 在 $F$ 上不可约,且 $p(a)=0$;
- $p(x)$ 是 $F$ 上以 $a$ 为根的次数最小的非零多项式;
- 如果 $f(x)$ 是域 $F$ 上任意一个以 $a$ 为根的多项式,则 $p(x)\mid f(x)$。
定理:设 $a$ 是 $F$ 上的代数元,$p(x)$ 是 $a$ 在 $F$ 上的极小多项式,$deg(p(x))=n$,则:
(1) $F(a)=F[a]$; (2) $F(a)$ 是 $F$ 的有限扩张,且 $[F(a):F]=n$; (3) $F(a)$ 中的每一个元素都能唯一地表示为 $c_0+c_1a+…+c_{n-1}a^{n-1}$ 的形式,其中 $c_0,…,c_{n-1}\in F$。
推论:设 $a_1,…,a_s$ 都是 $F$ 上的代数元,则:
(1) $F(a_1,…,a_s) = F[a_1,…,a_s]$;
(2) $F(a_1,…,a_s)$ 是 $F$ 的有限扩张,且 $[F(a_1,…,a_s):F]\le [F(a_1):F]…[F(a_s):F]$。
定理:如果 $E$ 是 $F$ 的有限扩域,则 $E$ 是 $F$ 的代数扩张。
定理:设 $a,a_1,…,a_s$ 都是 $F$ 上的代数元,则 $F(a)$ 与 $F(a_1,…,a_s)$ 都是 $F$ 上的代数扩张。
定理:设 $K$ 是 $E$ 的代数扩张,$E$ 是 $F$ 的代数扩张,则 $K$ 是 $F$ 的代数扩张。
代数闭域:域 $F$:以下条件等价
- 任意非常数多项式在 $F$ 中皆有一根;
- 任意非常数多项式在 $F$ 中分解为一次因式的乘积;
- $F$ 中的不可约多项式皆为一次多项式。
代数闭包:设 $L\mid F$ 为代数扩张, 且 $L$ 为代数闭域, 则称 $L$ 为 $F$ 的代数闭包。
分裂域:这一节没看,好累。
这里是 定理 5.4.5:
域 $F$ 上的多项式 $f(x)$ 在 $F$ 的某个扩域 $E$ 上有重根的充要条件是 $f(x)$ 和 $f’(x)$ 在 $F[x]$ 中有正次数的公因式。
定理:设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的不可约多项式。若 $F$ 的特征为 0,那么 $f(x)$ 无重根。若 $F$ 的特征为 $p\ne 0$,那么仅当存在 $F $ 上的某个多项式 $g(x)$,使得 $f(x)=g(x^p)$ 时 $f(x)$ 有重根。
完备域:若域 $F$ 的特征为 0 或 $p$ 且 $F^p={a^p\mid a\in F}=F$,则称 $F$ 为完备域。
- 每个有限域都是完备域。
定理:如果 $f(x)$ 是完备域上的不可约多项式,那么 $f(x)$ 没有重根。
定理:设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的不可约多项式,$E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域,则 $f(x)$ 在 $E$ 中的所有根都有相同的。重数。
- 设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的不可约多项式,$E$ 是 $f(x)$ 的分裂域,那么 $f(x)$ 可分解为:$a(x-a_1)^n…(x-a_t)^n$,其中 $a\in F,a_1…,a_t$ 是 $E$ 中不同的元素。
施泰尼茨定理:设 $F$ 是特征为 0 的域,$a,b$ 是 $F$ 上的代数元,则 $\exists c\in F(a,b)$ 使得 $F(a,b)=F(c)$。
特征 0 的域的任何有限扩域都是单扩域。
一个具有性质 $E=F(a)$ 的元素 $a$ 称为 $E$ 的本原元。
有限域的阶是一个素数的方幂。
对每个素数 $p$ 和每个正整数 $n$,在同构的意义下存在唯一的 $p^n$ 阶的有限域。
伽罗瓦域:对每个素数幂 $p^n$ 仅存在一个 $p^n$ 阶的域,所以可将此域记作 $GF(p^n)$。
$GF(p^n)$ 作为加法群同构于 $\Z_p \oplus … \oplus \Z_p$,$GF(p^n)$ 的全体非零元的集合关于乘法构成的群是一个 $p^n-1$ 阶的循环群。
有限域 $E$ 是它的素子域的一个单扩域。
$[GF(p^n):GF(p)]=n$
设 $a$ 是 $GF(p^n)$ 的非零元乘法群的生成元,则 $a$ 是 $GF(p)$ 上的 $n$ 次代数元。
定理:对 $n$ 的每个正因数 $m$,$GF(p^n)$ 中存在唯一的 $p^m$ 阶的子域,并且这些是 $GF(p^n)$ 中仅有的子域。