对《近世代数》部分定义的记录

参考近世代数（第二版）- 韩士安大概走了一遍定义，看完只觉得真不愧乃抽象代数，感觉啥都没学会。

这里作下记录以方便查询。

零化多项式：$g(\lambda)$ s.t. $g(A)=O$，称 $g(\lambda) $ 为 $A$ 的零化多项式。

​ e.g. $A^n=E$，则 $g(\lambda)=\lambda^n - 1$。

关系$R$：对集合$S$中的任意有序对$(a,b)$均能确定是否满足条件$R$，则称$R$为关系（二元关系）。

等价关系$a\sim b$：满足反身性(ARA)、传递性(ARB,BRC->ARC)、对称性(ARB,BRA)。

• 等价类：$[a]={x\in S\mid x\sim a}$

• 商集：S（在等价关系~下）的全体等价类的集合，记作$S/\sim$。

​ Z的一个（与a同余的）模m剩余类：$a={a+mz\mid z\in \Z}$；

​ 对应的商集记作 $\Z_m$，称为Z的模m剩余类集；

​ 即：$\Z_m = {\overline{0},\overline{1},…,\overline{m-1}}$。

• 分类：S是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为一种分类；其中每个子集称为S的一个类。

  ​ 例：$\Z$ 的一种分类：$\Z_m$。(每一种等价关系都确定了一种分类)

群：满足：封闭性、结合律、单位元、逆元。

• 阿贝尔群：满足交换律的群。

• 无限群：群的元素个数（阶）$\mid G\mid$ 无限。

• $Z$ 的模 $m$ 单位群：$(U(m),·)$。其中 $U(m)={\overline{a}\in \Z_m \mid (a,m)=1}$（$\mid U(m)\mid = \phi_m$）；
  • 当 m 为素数p时，$U(p)$ 也记作 $\Z_p^$，易知 $\Z_p^=(\Z/\equiv)=\Z_p$（模p剩余类集）
• 子群：群的子集关于其运算也构成群，记作 $H<G$（H是子群，G是群）。
  • 平凡子群：$G$ 本身、$H={e}$。

同构（映射） $\phi$：设 $G,G’$ 是两个群，$\phi$ 是 $G$ 到 $G’$ 的一一对应，使得：$\phi(a·b)=\phi(a)*\phi(b),\forall a,b\in G$。

​ 称 $G\cong G’$，同构。

• 恒等映射 $\iota:G\rightarrow G,a\rightarrow a$，显然： $\iota(ab)=ab=\iota(a)\iota(b)$。（$\iota$ 为 G 的一个自同构（恒等同构））

注：群的同构是一个等价关系。

在同构映射之下，对应的元素在各自的运算之下有相同的关系——同构的群具有完全相同的群性质。

对称群：全体可逆变换关于变换的合成所构成的群 $S_x$；（若群 $X$ 中仅有 $n$ 个元素，则称 $n$ 阶对称群并记作 $S_n$）

• $S_x$ 的任一子群称为变换群。（凯莱定理：每一个群都同构于一个变换群）；称 $S_n$ 的子群为置换群。
• $X$ 的一个可逆变换叫做一个 $n$ 阶置换。
• 这部分剩下略过了

阶：使 $a^r=e$ 的最小正整数 $r$ 称为元素 $a$ 的阶，记作 $ord\ a=r$。

• $ord\ a = n$，则 $ord\ a^m={n\over (n,m)}$；

• $ord\ a=n,ord\ b=m$，若 $ab=ba,(n,m)=1$，则 $ord\ ab=nm$。

  循环群：$G=$，其中 $a$ 为 $G$ 的一个生成元。若群阶有限，则恰有 $\phi(\mid G\mid=n)$ 个生成元，为 ${a^r\mid (r,n) = 1}$。

  • $(n,r)=d$，则 $<a^r>=<a^d>$；
  • $\mid G\mid =n$，则 $G$ 的全部子群为 ${<a^d>\mid (d\mid n,d>0)}$

乘积：$AB={ab\mid a\in A,b\in B}$

• 若 $gA=gB$，则 $A=B$；
• 若 $H$ 为 $G$ 的子群，则 $H·H=H$；
• 若 $A,B$ 是子群，则 $AB$ 也是子群的充要条件是 $AB=BA$。

陪集：$H$ 是 $G$ 的子群， $aH={ah\mid h\in H}$ 称为 H 在 G 中的左陪集。

• $aH=H$ 的充要条件 $a\in H$；
• $aH$ 为子群的充要条件 $a\in H$；
• $aH=bH$ 的充要条件：$a^{-1}b\in H$，也即 $b\in aH$。
• $aH,bH$ 要么无交，要么相同；

• $\mid aH\mid =\mid bH\mid$。

• 用 $G/H,H\backslash G$ 分别表示 $H$ 的全体左陪集和右陪集的集合。

指数：子群 H 在 G 中左陪集或右陪集的个数：$[G:H]$。

拉格朗日定理：$G$ 为一有限群，$H$ 是 $G$ 的子群，则 $\mid G\mid=\mid H\mid [G:H]$。

正规子群（不变子群）：对于 $\forall a\in G$，都有 $aH=Ha$，则称 $H\lhd G$。

• 平凡正规子群：略；

• 若 G 只有平凡正规子群，且 $G\ne {e}$。
• 交换群的子群都是~；
• $[G:H]=2$，则 $H$ 为正规子群。
• 判定定理： (1)$\forall a,h\in G,H:aha_1\in H$；(2)$\forall a\in G,aHa^{-1}=H$；(3)$\forall a\in G,aHa^{-1}\subseteq H$。

定义：（对正规子群）陪集的乘法 $(aH)·(bH)=(ab)H$ （其中陪集代表元素的选取不影响结果）

若 $H$ 为正规子群， 则 $G/H$ 关于陪集的乘法 $(aH)·(bH)=(ab)H$ 构成群。

商群：就上面这个群（只是陪集添加了一个运算法则）就叫商群（群 $G$ 关于子群 $H$ 的商群，仍记作 $G/H$）；其单位元为 $eH=H$，$aH$ 的逆元为 $a^{-1}H$。

同态映射：把“一一对应”换成“映射”的同构映射。（即：当同态映射 $\phi$ 既是单同态又是满同态时，$\phi$ 为 $G$ 到 $G’$ 的同构映射）（但仍然需要对 $\forall a\in G$ 都满足）

​ 与同构一样，群同态保持了群双方的运算，但却不要求群的元素之间是一一对应的，因此可以说，群同态是群同构的概念的自然推广。

• 自然同态：$\eta:G\rightarrow G/H,a\rightarrow aH$。则 $\eta$ 为满映射，且 $\forall a,b\in G,\eta(ab)=(ab)H=aH·bH=\eta(a)\eta(b)$

设 $\phi$ 为 $G$ 到 $G’$ 的映射，$A,B$ 分别为 $G,G’$ 的非空子集。

​ （子集 $A$ 在$\phi$ 下的）象： $\phi(A)={\phi(x)\mid x\in A}$；

​ 原象：$\phi^{-1}(B)={x\in G\mid \phi(x)\in B}$。

• 子群和正规子群的关系，在同态映射下是继承的。

• 核：$Ker\ \phi$：$e’$ 在 $G$ 中的原象（$\phi^{-1}({e’})={a\in G\mid \phi(a)=e’}$）。

群同态基本定理：设 $\phi$ 为一满同态，$K=Ker\ \phi$，则 $G/K\cong G’$。（从同构的观点来看，群的同态象就是群的商群）

群的直积：

• 外直积（$G=G_1×G_2$）：$G={(a_1,a_2)\mid a_1\in G_1,a_2\in G_2}$，定义乘法运算 $(a_1,a_2)·(b_1,b_2)=(a_1b_1,a_2b_2)$。则 $G$ 关于上述定义的乘法构成群，称为群 $G_1,G_2$ 的外直积。

  • $G_1×G_2\cong G_2×G_1$

  • $\mid G\mid = \mid G_1\mid · \mid G_2\mid$

  • $G_1,G_2$ 分别是 m, n 阶的循环群，则 $G_1×G_2$ 是循环群的充要条件是 $(m,n)=1$

• 内直积：设 $H,K$ 是群 $G$ 的正规子群，若群 $G$ 满足：$G=HK,H∩K={e}$，则 $G$ 是 $H,K$ 的内直积。

  • 充要条件：(1) $G$ 中每个元素可唯一表示为 $hk$ 的形式，$h,k\in H,K$；(2) $\forall h,k \in H,K,hk=kh$。

若 $G$ 为正规子群 $H,K$ 的内直积，则 $H×K\cong G$；反之，若 $G=G_1×G_2$，则存在正规子群 $G’_1,G’_2\subseteq G$ 与 $G_1,G_2$ 同构，使 $G$ 为 $G’_1,G’_2$ 的内直积。

推广：设 $G_i$ 是有限多个群，构造集合 $G={(a_1,…,a_n)\mid a_i\in G_i}$，并在 $G$ 中定义运算

$(a_1,…,a_n)·(b_1,…,b_n)=(a_1b_1,…,a_nb_n)$，则 $G$ 关于上述运算构成群，称为群 $G_1,…,G_n$ 的外直积。

​ 同样，内直积也可推广，满足那两个条件就行了。

​ 同样有定理，若群 $G$ 是有限多个子群 $H_1,…,H_n$ 的内直积，则 $G$ 同构于 ${H_i}$ 的外直积。

环：(1) 非空集合 $R$ 关于加法构成交换群;(2) 乘法结合律成立;(3) 乘法对加法分配律成立。

​ 则称 $(R,+,·)$ 为一个环。

零元：0，加法单位元；负元：$-a$，加法逆元；单位元：$ae=ea=a,\forall a\in R$；单位：就是可逆元。

• 若乘法还满足交换律，称交换环；
• 环不一定有单位元，但有则定唯一；
• 对于一个有单位元的群，其所有可逆元组成的集合关于环 $R$ 的乘法构成群，称为环 $R$ 的单位群，记作 $U(R)$.
• 环中可以定义减法、倍数、指数法则等。注意：若元素 $a$ 不可逆，则 $a^0,a^{-n}(n>0)$ 通常无意义；当 $ab\ne ba$，$(a·b)^n=a^nb^n$ 一般也不成立。

除零环 $R={0}$ 外，单位元不等于逆元。

模m剩余类环：$\Z_m={\overline{0},…,\overline{m-1}}$，其单位群是 $U(m)$。

子环：记作 $S<R$。

​ 充要条件：(1) $(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的加法子群；且 (2) $S$ 关于 $R$ 的乘法封闭。

​ 也即：$\forall a,b\in S:a-b\in S;ab\in S$。

• 环与子环单位元的存在性无关
• 设 $I $ 为 $\Z$ 的子环，则存在唯一的非负整数 $d$ 使得 $I=d\Z={dz\mid z\in \Z}$；由此知整数环 $\Z$ 的所有子环是 $\Sigma = {d\Z\mid d\in Z, d\ge 0}$。

中心：$C(R)={r\in R\mid rs=sr, \forall s\in R}$（它也是一个子环）

零因子：$a,b\in R;a,b\ne 0$，若 $a·b=0$，则称 a 为左零因子；b 为右零因子。

无零因子环：如其名。例如：整数环 $\Z$，偶数环 $2\Z$，数域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$。

• 对无零因子环，消去律成立。（$\forall a,b,c\in R,c\ne 0,ac=bc\rightarrow a=b$）；反之，环为无零因子环。

整环：有单位元 $e\ne 0$ 的无零因子交换环。例如：整数环 $\Z$，数域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$。

• 高斯整环 $\Z[i]={a+bi\mid a,b\in \Z}$，其单位（可逆元）有四个，为 $1,-1,i,-i$。类似可证：对任意无平方因子的整数 $d\ne 1$，有整环 $\Z[\sqrt{d}]={a+b\sqrt{d}\mid a,b\in \Z}$。

  整环是一类与整数环性质最为接近的环。

域：有单位元 $1_F\ne 0$ 的，每个非零元都可逆的交换环。（一定是整环）例：$Q,R,C$ 分别称为有理数域、实数域和复数域。（即加法、乘法均满足交换群且乘法对加法有分配律）

• 设 $p $ 为素数，则 $\Z_p$ 是一个含 $p$ 个元素的有限域。

除环：交换的除环就是域，非交换的除环称为体。

理想：$R$ 为环，$I$ 为 $R$ 的非空子集， $I$ 满足：(1) $\forall r_1,r_2\in I,r_1-r_2\in I$;(2) $\forall r\in I,s\in R,rs,sr\in I$，记作 $I\lhd R$；若又有 $I\subsetneq R$，则称真理想。（定义知，理想一定是子环）

• 平凡理想：$R$ 和 ${0}$。
• 运算：
  • 和：$I+J={a+b\mid a\in I,b\in J}$；
  • 交：$I∩J$。
  • 任意多个有限理想的和还是理想；任意多个理想的交还是理想。

• 主理想：设 $a\in R,\Sigma={I\lhd R\mid a\in I}$。则 $=\cap_{I\in \Sigma}I$ 称为 $R $ 的由 $a$ 生成的主理想。

  设 $R$ 为环，$a\in R$，则：(别问为什么，问就不知道)

  1. $={\sum\limits_{i=1}^n x_iay_i+xa+ay+ma\mid x_i,y_i,x,y \in R,n\in N,m\in Z}$； 2. $R$ 有单位元：$={\sum\limits_{i=1}^n x_iay_i\mid x_i,y_i \in R,n\in N}$； 3. 交换环：$={xa+ma\mid x \in R,m\in Z}$； 4. 有单位元的交换环：$=aR={ar\mid r\in R}$。

  推论得：整数环 $\Z$ 、模m剩余类环 $\Z_m$ 的每个理想都是主理想。

设 $<a_1,…,a_s>=+...+$，则称为 $R$ 的由 $a_1,...,a_s$ 生成的理想。易知其是含这些元素的最小理想。

商环：设 $R$ 为一个环， $I $ 是 $R$ 的一个理想，则 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的一个子加群，从而是其一个正规子群，于是有商群：$R/I={\overline{x}=x+I\mid x\in R}$（陪集集合）；定义加法：$\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}$（子群 $I+I=I$）；乘法：$\overline{x}·\overline{y}=\overline{xy};x,y\in R$，（实在不想打字了，）其证明见下。

这张图她不见了。

​ 称环 $R/I$ 为环 $R$ 关于它的理想 $I$ 的商环。

• $\overline{0}=I$ 为其零元；
• 若 $R$ 有单位元 $e\notin I$，则 $\overline{e}=e+I$ 为 $R/I$ 的单位元；
• 若 $R$ 为交换环，则 $R/I$ 也是交换环。

易知，$\Z/=\Z_m(\{\overline{0},...,\overline{m-1}\}),=m\Z$。

环的同态：映射 $\phi:R\rightarrow R’$，$\forall a,b\in R:\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b);\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$。

​ 定理：(1) $\phi(0R)=0{R’}$; (2) $\phi(na)=n\phi(a)$; (2) $\phi(a^n)=(\phi(a))^n$

​ 若两环都有单位元，则环同态满足：

1. 若为满同态，则 $\phi(e)=e’$;

同态基本定理：称 $Ker\ \phi={a\in R\mid \phi(a)=0 }$

$Ker\ \phi$ 为 $R$ 的理想。

环同态基本定理：设 $\phi$ 为一满同态，则有环同构 $\tilde{\phi}:R/Ker\ \phi\cong R’$。

环的扩张定理：设 $\overline{S}$ 和 $R$ 是两个没有公共元素的环，$\overline\phi $ 是环 $\overline S$ 到 $R$ 的单同态，则存在 $S$，与环 $R$ 同构；以及由环 $S$ 到 $R$ 的同构映射 $\phi$ ，使得 $\overline{S}$ 为 $S$ 的子环且 $\phi\mid_{\overline{S} }=\overline{\phi}$。

​ 并称 $S$ 为 $\overline{S}$ 的扩环。构造为 $S=(R-\overline{\phi}(\overline{S}))\cup \overline{S}$，$\phi(x)=\overline\phi(x)\ if\ x\in \overline{S}\ else\ x$。

素理想：$R$ 为一交换环，$P$ 为其真理想。若对任意的 $a,b\in R$，由 $ab\in P$，可推出 $a\in P\Arrowvert b\in P$。则称 $P$ 为 $R$ 的一个素理想。

• 设 $n$ 为正整数，证明：$$ 为 $\Z$ 的素理想的充要条件是 $n$ 为素数。（$\{0\}$ 也是 $\Z$ 的素理想）

• 设 $R$ 是有单位元 $e\ne 0$ 的交换环，$I$ 是 $R$ 的理想，则 $I$ 是 $R$ 的素理想的充要条件是：$R/I$ 是整环。

极大理想：设 $R$ 是一个交换环，$M$ 是 $R$ 的真理想。若对 $R$ 的任一包含 $M$ 的理想 $N$ ，必有 $N=M\Arrowvert N=R$，则称 $M$ 为 $R$ 的一个极大理想。

• 设 $p$ 是正整数，则 $<p>$ 是 $\Z$ 的极大理想的充要条件是 $p$ 是素数。

• 设 $R$ 是有单位元 $e$ 的交换环，$I$ 为 $R$ 的理想，则 $I$ 是 $R$ 的极大理想的充要条件是 $R/I$ 是域。

• 设 $R$ 是有单位元的交换环，则 $R$ 的每个极大理想都是素理想。

(环的)特征：若对环 $R$ 有最小的正整数 $n$，使得 $\forall a\in R,na=0$，则称 $n$ 是环 $R$ 的特征；否则其特征 $Char\ R = 0$。

注意：对于环，$Ker$ 和 $Char$ 的概念都比之群不同。

• 一般地，如果 $R$ 是一个数环，则 $Char\ R = 0$；
• $Char\ \Z_m = m$，类似地，$Char\ Z_m[x]=m$；
• 设 $R$ 是有单位元 $e$ 的环。若 $e$ 关于加法的阶无穷大，则其特征为0，若为n，则特征为n；
• 整环和域的特征是 0 或一个素数。

设 $R$ 是有单位元的环：

​ (1) 若 $R$ 的特征为 $n>0$，则 $R$ 包含一个与 $\Z_n$ 同构的子环；

​ (2) 若为 0，则包含一个与 $\Z$ 同构的子环。

素域：不含任何真子域的域。

设 $F$ 是域：

​ (1) 若 $F$ 的特征是素数 $p$，则 $F$ 包含一个与模 $p$ 剩余类环 $\Z_p$ 同构的素域；

​ (2) 若为 0，则包含一个与 $\Q$ 同构的素域。

若多项式 $f(x)$ 的系数属于某个数域或数环，则称 $f(x)$ 为该数域或数环上的多项式。

以下总假定：环 $R$ 有单位元，并用 1 表示环 $R$ 的单位元。

未定元：设 $\overline{R}$ 是 $R$ 的扩环，$x$ 是 $\overline{R}$ 中的一个元素，若 $x$ 满足：

​ (1) $\forall r\in R,xr=rx$；

​ (2) $1x=x$；

​ (3) 对 $R$ 的任意一组不全为零的元素 ${a_i}$，$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n\ne 0$，

​ 则称 $x$ 为 $R$ 上的一个未定元。

• 若 $R$ 为一个有单位元的环，则一定存在环 $R$ 上的一个未定元 $x$。
• $R$ 上的形式幂级数环：记作 $R[[x]]$，由所有形如 $a_0+a_1x+…+a_nx^n+…$ （形式幂级数）所组成的环，在组合数学中有重要应用。

$R[x]={a_0+…+a_nx^n\mid n\ge 0,a_i\in R}$ 关于 $\overline{R}$ 的运算构成 $R$ 的一个扩环。

多项式环：设 $R$ 是一个有单位元的环，$x$ 是 $R$ 的一个未定元，称环 $R[x]$ 为 $R$ 上的以 $x$ 为未定元的一元多项式环。

对任意一个有单位元的环，一定存在其上的一个一元多项式环。下面的定理则说明环 $R$ 上的一元多项式环本质上是唯一的：

• 设 $R$ 和 $R’$ 是两个有单位元的环，$x$ 和 $y$ 分别是其上的未定元。若 $R\cong R’$，则 $R[x]\cong R’[y]$。

• $R$ 的零元0、单位元也是 $R[x]$ 的零元0、单位元。$R$ 若为无零因子环（$R[x]$ 的单位也就是 $R$ 的单位）、交换环或整环，则 $R[x]$ 也是。

定理：每一个整环都可以扩充为一个域，且称该域 $Q$ 为整环 $D$ 的商域。通过一系列运算可知：$Q$ 的每个元素都可表为 $ab^{-1},a,b\in D,b\ne 0$ 的形式，又由 $Q$ 是域，故可记 ${a\over b}=ab^{-1}$。这样：$Q={ {a\over b}\mid a,b\in D,b\ne 0}$。

​ 构造：

1. 构造集合 $S={(a,b)\mid a,b\in D,b\ne 0}$

2. 定义 $S$ 上的等价关系：$\forall (a,b),(c,d) \in S$，令 $(a,b)\sim (c,d) \iff ad=bc$。

3. 由等价关系得到商集 $F=S/\sim = {[{a\over b}]\mid a,b\in D,b\ne 0}$。（记 $S$ 中 $(a,b)$ 所在的等价类为 $[{a\over b}]={(c,d)\in S\mid (c,d)\sim (a,b)}$）

4. 定义 $F$ 的运算并证明相关性质，使 $F$ 构成一个域： \(\forall [{a\over b}],[{c\over d}] \in F:\\ [{a\over b}]+[{c\over d}]=[{ad+bc\over bd}],\\ [{a\over b}]·[{c\over d}]=[{ac\over bd}].\)

   1. 由 $F$ 构造一个包含 $D$ 的域 $Q$：令 $\phi:D\rightarrow F, x\rightarrow [{x\over 1}]$。则 $\phi$ 为 $D$ 到 $F$ 的映射。

   证明 $\phi$ 为一个单同态，且 $D\cap F = \empty$，从而由环的扩张定理知：$\exists Q$ 为 $D$ 的扩环，及环同构 $\tilde{\phi}:Q\cong F$。由于 $F$ 为域，则 $Q$ 也是域。

• 整数环 $\Z$ 的商域就是有理数域 $\Q$；
• 高斯整环 $\Z[i]$ 的商域是 $Q[i]={a+bi\mid a,b \in \Q}$；
• 域 $F$ 的商域就是其本身；
• 域 $F $ 上的一元多项式环 $F[x]$ 是一个整环，其商域是 $F[x]$ 的有理分式域：$F(x)={ {f(x)\over g(x)}\mid f(x),g(x)\in F[x],g(x)\ne 0 }$；
• $D,D’$ 是同构的两个整环，则其商域也同构。

约定：本节以后：$D$ 表示整环，$F$ 表示整环 $D$ 的商域，$U$ 表示 $D$ 的单位群，1, 0 分别表示 $D$ 的单位元和零元。

整除：设 $D$ 是整环，$a,b\in D$。若 $\exists c\in D\ s.t.\ a=bc$，则称 $b$ 是 $a$ 的一个因子，$b$ 整除 $a$，记作 $b\mid a$。否则记作 $b\nmid a$。

• $a\in D$，则对 $D$ 的任一可逆元 $u$，$u,au$ 都是 $a$ 的因子，这两类因子统称为 $a$ 的平凡因子。如果有非平凡因子，则称为真因子。

• $a,b\in D$，若 $a\mid b,b\mid a$，则称 $a,b$ 相伴，记作 $a\sim b$。

  • 设 $D$ 整环，$a,b\in D$，则下列条件等价：

    (1) $a\sim b$；

    (2) $=$；

    (3) $\exists u\in D,s.t.\ a=bu$。

不可约元：整环 $D$ 中非零非单位且无真因子的元素称为 $D$ 的不可约元。

素元：设 $p$ 是 $D$ 的一个非零非单位的元素，若 $\forall a,b\in D$，由 $p\mid ab$ 可以推出 $p\mid a \Arrowvert p\mid b$，则称 $p$ 为 $D$ 的一个素元。

• $p$ 及其相伴元是否为素元（或不可约元）保持一致。

• 在整环中，每个素元都是不可约元。
• 在整数环中，每个素数既是不可约元也是素元（不可约元都是素元这一说法在一般的整环中并不成立）。

范数：设 $d\ne 1,0$ 且为无平方因子的整数，对任意的 $a+b\sqrt{d}\in Q[\sqrt{d}]$，称 $\mathcal{N}(a+b\sqrt{d})=\arrowvert a^2-db^2\arrowvert$。

设 $D$ 为一整环，$a$ 是 $D$ 的一个非零非单位的元素：

​ (1) 如果存在有限多个不可约元 ${p_i}$ 使得 $a=p_1…p_s$，则称 $a$ 有不可约分解，并称上述分解式为 $a$ 的一个不可约分解。

​ (2) 如果 $a$ 有不可约分解，并且 $a$ 的不可约分解在相伴的意义下是唯一的，即：若 $a$ 有两个不可约分解 $a=p_1…p_s=q_1…q_t$，则 $s=t$，且适当交换次序，有 $p_i\sim q_i,i=1,2,…,s$，则称 $a$ 有唯一分解。

唯一分解整环(UFD)：设 $D$ 是一个整环，若 $D$ 中每一个非零非单位的元素都有唯一分解，则称 $D$ 为唯一分解整环。

• $\Z$ 是唯一分解整环。
• 在 UFD 中，每一个不可约元都是素元。

真因子链：设 $D$ 是整环，$a_1,a_2,…,a_n,…$ 是 $D$ 中的一列元素（可以无限多个）。若对任意的 $i>1$，$a_i$ 为 $a_{i-1}$ 的真因子，则称上述元素列为 $D$ 的一个真因子链。

定理：在唯一分解整环中，每一个真因子链都是有限的。

定理：整环 $D$ 是唯一分解整环的充要条件是：

​ (1) $D$ 中的每一个真因子链都有限; (2) $D$ 的每一个不可约元都是素元。

标准分解式：设 $D$ 是唯一分解整环，$a$ 是 $D$ 的一个非零非单位的元素，则 $a$ 有唯一分解。设 $a$ 的所有互不相伴的不可约因子为：$p_1,p_2,…,p_s$。则对 $a$ 的任一不可约因子 $p$，有 $p_i$ 使 $p\sim p_i$。从而 $a$ 的分解式可表示为：$a=\epsilon p_1^{r_1}…p_s^{r_s}$，其中 $\epsilon$ 为 $D$ 的单位，$r_1,…,r_s\in \N$。称该式为 $a$ 的标准分解式。

最大公因子：设 $D$ 是一个整环，$a,b,d\in D$，若 $d$ 满足：

​ (1) $d\mid a$, $d\mid b$，即 $d$ 是 $a,b$ 之公因子; (2) 如果 $c$ 是 $a$ 和 $b$ 的任一公因子，则有 $c\mid d$，则称 $d$ 是 $a,b$ 的一个最大公因子，记作 $d=gcd(a,b)/(a,b)$。

• 在唯一分解整环中，任意两个元素都有最大公因子。

• 由此，则可定义 互素 等概念。

主理想整环(PID)：设 $D$ 是一个整环，如果 $D$ 的每一个理想都是主理想，则称 $D$ 为主理想整环。

• $\Z$ 是主理想整环。

• 主理想整环的每一个真因子链都有限；

• 主理想整环上对非零非单位的元素 $a$，下列条件等价：

  • $a$ 是素元；
  • $a$ 是不可约元；
  • $$ 是极大理想；
  • $$ 是素理想。

  最大公因子的存在表示定理：设 $D$ 是一个主理想整环，则对任意的 $a,b\in D$，存在 $u,v\in D$，使得 $gcd(a,b)=ua+vb$。

欧几里得整环(ED)：设 $D$ 是整环。如果存在映射 $\phi: D-{0}\rightarrow \N\cup{0}$，使对 $\forall a,b\in D,b\ne 0$，$\exists q,r\in D$，使 $a=bq+r$，其中 $r=0$ 或 $\phi(r)<\phi(b)$，则称 $D$ 为一个欧几里得整环；常称 $\phi$ 为欧式映射。

• 每一个 ED 都是PID，因而也是 UFD。

• 设 $F$ 为域，则 $F[x]$ 为欧几里得整环——也是 PID, UFD。

• 有个定理：唯一分解整环上的多项式环还是唯一分解整环。

向量空间：设 $V$ 是一个带有加法运算的非空集合，$F$ 是一个域。如果 $V$ 关于加法运算构成一个交换群，并且对每个 $k\in F,v\in V$，在 $V$ 中可唯一地确定一个元素 $kv$（称 $k,v$ 的标量乘法），使得对 $\forall k,l\in F,u,v\in V$，满足：$(1) (kl)v=k(lv); (2) (k+l)v=kv+lv; (3) k(u+v)=ku+kv; (4) 1v=v$，则称 $V$ 为域 $F$ 上的一个向量空间，空间中的元素称为向量，域中的元素称为标量。域 $F$ 称为向量空间的基域。

子空间：设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间，$U$ 是 $V$ 的非空子集。如果 $U$ 关于 $V$ 的运算也构成 $F$ 上的向量空间，则称 $U$ 为 $V$ 的子空间。

• 设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间，$v_1,…,v_n$ 是 $V$ 中的向量（不必互不相同），那么子集 $<v_1,…,v_n>={a_1v_1+…+a_nv_n\mid a_1,…,a_n\in F}$ 称为 $V$ 的由 $v_1,…,v_n$ 张成的子空间。形如 $a_1v_1+…$ 的元素称为 $v_1,…,v_n$ 的线性组合。若 $<v_1,…,v_b>=V$，则称 $v_1,…,v_n$ 张成 $V$。一般地，设 $B$ 是 $V$ 的任一非空子集，若 $V$ 中任一元素都是 $B$ 中有限多个元素的线性组合，则称 $B$ 张成 $V$。

基：设 $V$ 是 $F$ 上的向量空间，$B$ 是 $V$ 的一个非空子集。如果 $B$ 中任一有限子集都在 $F$ 上线性无关，且 $B$ 张成 $V$，则称 $B$ 为 $V$ 的基。

• 如果两向量集合${u_1,…,u_m},{w_1,…,w_n}$ 都是域 $F$ 上 $V$ 的基，则 $m==n$。

以有限多个元素为基的空间（包括零空间）称为有限维向量空间，否则称为无限维向量空间。

维数：如果一个向量空间 $V$ 具有一个含 $n$ 个元素的基，则称 $V$ 的维数是 $n$，零空间 ${0}$ 称为是由空集构成的，并规定其维数为 0；无限维向量空间的维数规定为无限大 $+\infin$。域 $F$ 上向量空间 $V$ 的维数记作 $dim_FV$。

扩域：若对域 $F,E$ ，$F\subseteq E$，且 $F$ 中的运算就是 $E$ 的运算在 $F$ 上的限制，则称 $E$ 为 域 $F$ 的扩域，而称 $F$ 为 $E$ 的子域。

​ 由前节知，任一域都是某一素域的扩域，且从同构以见，素域仅有 $\Q,\Z_p$ 两类，故理论上，掌握它们的所有扩域，即掌握了所有的域。

​ $F(S)$：$E$ 的添加集合 $S$ 于 $F$ 的子域。（是 $E$ 的包含 $F,S$ 的最小子域）

• 记 $F({a})=F(a)$，称之为 $F$ 的单扩张，易得 $\tilde{F}=F(a)={ {f(a)\over g(a)}\mid f(x),g(x)\in F[x],g(a)\ne 0)}$。
• 类似地，可得 $F(a_1,…,a_s)={ {f(a_1,…,a_s)\over g(a_1,…,a_s)}\mid f,g\in F[x_1,…,x_s],g \ne 0 }$。
  • 若记 $F[a]={f(a)\mid f(x) \in F[x]}$，由前可知 $F(a)$ 即 $F[a]$ 的商域。

有限扩张：设 $E$ 是 $F$ 的扩域，若 $E$ 作为 $F$ 上的向量空间是有限维的，则称 $E$ 是 $F$ 的有限扩域或有限扩张；否则称 $E$ 是 $F$ 的无限扩张。$E$ 在 $F$ 上的维数 $dim_FE$ 称为 $E$ 关于 $F$ 的扩张次数，记作 $[E:F]$。

定理：设 $K$ 是域 $E$ 的有限扩域，$E$ 是域 $F$ 的有限扩域，则 $K$ 是域 $F$ 的有限扩域，且 $[K:F]=[K:E]·[E:F]$。

​ 进一步可得：$E_1\subseteq…\subseteq E_s$ 为一扩域链，则 $[E_s:E_1]=[E_s:E_{s-1} ]…[E_2:E_1]$。

域论基本定理：设 $F$ 是域，$f(x)$ 是 $F[x]$ 中次数大于零的多项式，那么存在 $F$ 的扩域，使得 $f(x)$ 在此扩域中有根。

定义：设 $E$ 为域 $F$ 的扩域，$a\in E$，若存在 $F$ 上的非零多项式 $f(x)$，使得 $f(a)=0$，则称 $a$ 为 $F$ 上的一个代数元；否则称之为超越元。

​ 如果 $E$ 上每个元素都是代数元，则称 $E$ 是 $F$ 的代数扩张；否则称超越扩张。

​ 有理数域上的代数元称为代数数，否则称为超越数。

如何区分，定理：设 $E$ 是域 $F$ 的扩域，$a\in E$。

• 若 $a$ 是 $F$ 上的超越元，则 $F(a)$ 同构于 $F[x]$ 的商域 $F(x)$；
• 若是代数元，则 $F(a)$ 同构于 $F[x]/<p(x)>$，其中 $p(x)$ 是 $F[x]$ 中任意一个以 $a$ 为根的不可约多项式。

知，上述所言 $p(x)$ 在相伴意义下是由域 $F$ 上的代数元 $a$ 唯一确定的，故要求 $p(x)$ 的首相系数为 1，则这样的不可约多项式 $p(x)$ 必然唯一。这个唯一的首一不可约多项式 $p(x)$ 称为元素 $a$ 在域 $F$ 上的极小多项式，记作 $m_a(x)$，并称 $m_a(x)$ 的次数为 $a$ 在 $F$ 上的次数，记作 $deg(a)$。

推论：设 $a$ 是 $F$ 上的代数元，$p(x)$ 是 $F$ 上的一个首一多项式，则下述条件等价：

• $p(x)$ 是 $a$ 在域 $F$上的极小多项式；
• $p(x)$ 在 $F$ 上不可约，且 $p(a)=0$；
• $p(x)$ 是 $F$ 上以 $a$ 为根的次数最小的非零多项式；
• 如果 $f(x)$ 是域 $F$ 上任意一个以 $a$ 为根的多项式，则 $p(x)\mid f(x)$。

定理：设 $a$ 是 $F$ 上的代数元，$p(x)$ 是 $a$ 在 $F$ 上的极小多项式，$deg(p(x))=n$，则：

​ (1) $F(a)=F[a]$; (2) $F(a)$ 是 $F$ 的有限扩张，且 $[F(a):F]=n$; (3) $F(a)$ 中的每一个元素都能唯一地表示为 $c_0+c_1a+…+c_{n-1}a^{n-1}$ 的形式，其中 $c_0,…,c_{n-1}\in F$。

​ 推论：设 $a_1,…,a_s$ 都是 $F$ 上的代数元，则：

​ (1) $F(a_1,…,a_s) = F[a_1,…,a_s]$；

​ (2) $F(a_1,…,a_s)$ 是 $F$ 的有限扩张，且 $[F(a_1,…,a_s):F]\le [F(a_1):F]…[F(a_s):F]$。

定理：如果 $E$ 是 $F$ 的有限扩域，则 $E$ 是 $F$ 的代数扩张。

定理：设 $a,a_1,…,a_s$ 都是 $F$ 上的代数元，则 $F(a)$ 与 $F(a_1,…,a_s)$ 都是 $F$ 上的代数扩张。

定理：设 $K$ 是 $E$ 的代数扩张，$E$ 是 $F$ 的代数扩张，则 $K$ 是 $F$ 的代数扩张。

代数闭域：域 $F$：以下条件等价

• 任意非常数多项式在 $F$ 中皆有一根；
• 任意非常数多项式在 $F$ 中分解为一次因式的乘积；
• $F$ 中的不可约多项式皆为一次多项式。

代数闭包：设 $L\mid F$ 为代数扩张, 且 $L$ 为代数闭域, 则称 $L$ 为 $F$ 的代数闭包。

分裂域：这一节没看，好累。

这里是 定理 5.4.5：

域 $F$ 上的多项式 $f(x)$ 在 $F$ 的某个扩域 $E$ 上有重根的充要条件是 $f(x)$ 和 $f’(x)$ 在 $F[x]$ 中有正次数的公因式。

定理：设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的不可约多项式。若 $F$ 的特征为 0，那么 $f(x)$ 无重根。若 $F$ 的特征为 $p\ne 0$，那么仅当存在 $F $ 上的某个多项式 $g(x)$，使得 $f(x)=g(x^p)$ 时 $f(x)$ 有重根。

完备域：若域 $F$ 的特征为 0 或 $p$ 且 $F^p={a^p\mid a\in F}=F$，则称 $F$ 为完备域。

• 每个有限域都是完备域。

定理：如果 $f(x)$ 是完备域上的不可约多项式，那么 $f(x)$ 没有重根。

定理：设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的不可约多项式，$E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，则 $f(x)$ 在 $E$ 中的所有根都有相同的。重数。

• 设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的不可约多项式，$E$ 是 $f(x)$ 的分裂域，那么 $f(x)$ 可分解为：$a(x-a_1)^n…(x-a_t)^n$，其中 $a\in F,a_1…,a_t$ 是 $E$ 中不同的元素。

施泰尼茨定理：设 $F$ 是特征为 0 的域，$a,b$ 是 $F$ 上的代数元，则 $\exists c\in F(a,b)$ 使得 $F(a,b)=F(c)$。

特征 0 的域的任何有限扩域都是单扩域。

一个具有性质 $E=F(a)$ 的元素 $a$ 称为 $E$ 的本原元。

有限域的阶是一个素数的方幂。

对每个素数 $p$ 和每个正整数 $n$，在同构的意义下存在唯一的 $p^n$ 阶的有限域。

伽罗瓦域：对每个素数幂 $p^n$ 仅存在一个 $p^n$ 阶的域，所以可将此域记作 $GF(p^n)$。

​ $GF(p^n)$ 作为加法群同构于 $\Z_p \oplus … \oplus \Z_p$，$GF(p^n)$ 的全体非零元的集合关于乘法构成的群是一个 $p^n-1$ 阶的循环群。

​ 有限域 $E$ 是它的素子域的一个单扩域。

​ $[GF(p^n):GF(p)]=n$

​ 设 $a$ 是 $GF(p^n)$ 的非零元乘法群的生成元，则 $a$ 是 $GF(p)$ 上的 $n$ 次代数元。

定理：对 $n$ 的每个正因数 $m$，$GF(p^n)$ 中存在唯一的 $p^m$ 阶的子域，并且这些是 $GF(p^n)$ 中仅有的子域。