工具性质。

参考韩士安的近代(第二版)大概走了一遍概念,看完只觉得真不愧乃抽象代数,感觉啥都没学会。

这里仅做部分记录方便查询概念。

零化多项式:$g(\lambda)$ s.t. $g(A)=O$,称 $g(\lambda) $ 为 $A$ 的零化多项式。

​ e.g. $A^n=E$,则 $g(\lambda)=\lambda^n - 1$。

关系$R$:对集合$S$中的任意有序对$(a,b)$均能确定是否满足条件$R$,则称$R$为关系(二元关系)。

等价关系$a\sim b$:满足反身性(ARA)、传递性(ARB,BRC->ARC)、对称性(ARB,BRA)。

​ Z的一个(与a同余的)模m剩余类:$a={a+mz\mid z\in \Z}$;

​ 对应的商集记作 $\Z_m$,称为Z的模m剩余类集

​ 即:$\Z_m = {\overline{0},\overline{1},…,\overline{m-1}}$。

:满足:封闭性、结合律、单位元、逆元。


同构(映射) $\phi$:设 $G,G’$ 是两个群,$\phi$ 是 $G$ 到 $G’$ 的一一对应,使得:$\phi(a·b)=\phi(a)*\phi(b),\forall a,b\in G$。

​ 称 $G\cong G’$,同构。

注:群的同构是一个等价关系

在同构映射之下,对应的元素在各自的运算之下有相同的关系——同构的群具有完全相同的群性质

对称群:全体可逆变换关于变换的合成所构成的群 $S_x$;(若群 $X$ 中仅有 $n$ 个元素,则称 $n$ 阶对称群并记作 $S_n$)



:使 $a^r=e$ 的最小正整数 $r$ 称为元素 $a$ 的阶,记作 $ord\ a=r$。


乘积:$AB={ab\mid a\in A,b\in B}$

陪集:$H$ 是 $G$ 的子群, $aH={ah\mid h\in H}$ 称为 H 在 G 中的左陪集。

指数:子群 H 在 G 中左陪集或右陪集的个数:$[G:H]$。

拉格朗日定理:$G$ 为一有限群,$H$ 是 $G$ 的子群,则 $\mid G\mid=\mid H\mid [G:H]$。

正规子群(不变子群):对于 $\forall a\in G$,都有 $aH=Ha$,则称 $H\lhd G$。

定义:(对正规子群)陪集的乘法 $(aH)·(bH)=(ab)H$ (其中陪集代表元素的选取不影响结果)

若 $H$ 为正规子群, 则 $G/H$ 关于陪集的乘法 $(aH)·(bH)=(ab)H$ 构成群。

商群:就上面这个群(只是陪集添加了一个运算法则)就叫商群(群 $G$ 关于子群 $H$ 的商群,仍记作 $G/H$);其单位元为 $eH=H$,$aH$ 的逆元为 $a^{-1}H$。


同态映射:把“一一对应”换成“映射”的同构映射。(即:当同态映射 $\phi$ 既是单同态又是满同态时,$\phi$ 为 $G$ 到 $G’$ 的同构映射)(但仍然需要对 $\forall a\in G$ 都满足

​ 与同构一样,群同态保持了群双方的运算,但却不要求群的元素之间是一一对应的,因此可以说,群同态是群同构的概念的自然推广。

设 $\phi$ 为 $G$ 到 $G’$ 的映射,$A,B$ 分别为 $G,G’$ 的非空子集。

​ (子集 $A$ 在$\phi$ 下的): $\phi(A)={\phi(x)\mid x\in A}$;

原象:$\phi^{-1}(B)={x\in G\mid \phi(x)\in B}$。

群同态基本定理:设 $\phi$ 为一满同态,$K=Ker\ \phi$,则 $G/K\cong G’$。(从同构的观点来看,群的同态象就是群的商群)

群的直积

若 $G$ 为正规子群 $H,K$ 的内直积,则 $H×K\cong G$;反之,若 $G=G_1×G_2$,则存在正规子群 $G’_1,G’_2\subseteq G$ 与 $G_1,G_2$ 同构,使 $G$ 为 $G’_1,G’_2$ 的内直积。

推广:设 $G_i$ 是有限多个群,构造集合 $G={(a_1,…,a_n)\mid a_i\in G_i}$,并在 $G$ 中定义运算

$(a_1,…,a_n)·(b_1,…,b_n)=(a_1b_1,…,a_nb_n)$,则 $G$ 关于上述运算构成群,称为群 $G_1,…,G_n$ 的外直积

​ 同样,内直积也可推广,满足那两个条件就行了。

​ 同样有定理,若群 $G$ 是有限多个子群 $H_1,…,H_n$ 的内直积,则 $G$ 同构于 ${H_i}$ 的外直积。


:(1) 非空集合 $R$ 关于加法构成交换群;(2) 乘法结合律成立;(3) 乘法对加法分配律成立。

​ 则称 $(R,+,·)$ 为一个环。

零元:0,加法单位元;负元:$-a$,加法逆元;单位元:$ae=ea=a,\forall a\in R$;单位:就是可逆元

除零环 $R={0}$ 外,单位元不等于逆元。

模m剩余类环:$\Z_m={\overline{0},…,\overline{m-1}}$,其单位群是 $U(m)$。

子环:记作 $S<R$。

充要条件:(1) $(S,+)$ 是 $(R,+)$ 的加法子群;且 (2) $S$ 关于 $R$ 的乘法封闭。

也即:$\forall a,b\in S:a-b\in S;ab\in S$。

中心:$C(R)={r\in R\mid rs=sr, \forall s\in R}$(它也是一个子环)


零因子:$a,b\in R;a,b\ne 0$,若 $a·b=0$,则称 a 为左零因子;b 为右零因子。

无零因子环:如其名。例如:整数环 $\Z$,偶数环 $2\Z$,数域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$。

整环有单位元 $e\ne 0$ 的无零因子交换环。例如:整数环 $\Z$,数域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$。

有单位元 $1_F\ne 0$ 的,每个非零元都可逆的交换环。(一定是整环)例:$Q,R,C$ 分别称为有理数域、实数域和复数域。(即加法、乘法均满足交换群且乘法对加法有分配律)

除环:交换的除环就是域,非交换的除环称为


理想:$R$ 为环,$I$ 为 $R$ 的非空子集, $I$ 满足:(1) $\forall r_1,r_2\in I,r_1-r_2\in I$;(2) $\forall r\in I,s\in R,rs,sr\in I$,记作 $I\lhd R$;若又有 $I\subsetneq R$,则称真理想。(定义知,理想一定是子环)

设 $<a_1,…,a_s>=+...+$,则称为 $R$ 的由 $a_1,...,a_s$ 生成的理想。易知其是含这些元素的最小理想。

商环:设 $R$ 为一个环, $I $ 是 $R$ 的一个理想,则 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的一个子加群,从而是其一个正规子群,于是有商群:$R/I={\overline{x}=x+I\mid x\in R}$(陪集集合);定义加法:$\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}$(子群 $I+I=I$);乘法:$\overline{x}·\overline{y}=\overline{xy};x,y\in R$,(实在不想打字了,)其证明见下。

这张图她不见了。

​ 称环 $R/I$ 为环 $R$ 关于它的理想 $I$ 的商环

易知,$\Z/=\Z_m(\{\overline{0},...,\overline{m-1}\}),=m\Z$。


环的同态:映射 $\phi:R\rightarrow R’$,$\forall a,b\in R:\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b);\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$。

​ 定理:(1) $\phi(0R)=0{R’}$; (2) $\phi(na)=n\phi(a)$; (2) $\phi(a^n)=(\phi(a))^n$

​ 若两环都有单位元,则环同态满足:

  1. 若为满同态,则 $\phi(e)=e’$;
2. 若 $R’$ 为无零因子环,且 $\phi(e)\ne 0$,则 $\phi(e)=e’$; 3. 若 $\phi(e)=e’$,则对 $R$ 的任一可逆元 $u$,$\phi(u)$ 是 $R’$ 的单位,且 $(\phi(u))^{-1}=\phi(u^{-1})$。

同态基本定理:称 $Ker\ \phi={a\in R\mid \phi(a)=0 }$

$Ker\ \phi$ 为 $R$ 的理想。

环同态基本定理:设 $\phi$ 为一满同态,则有环同构 $\tilde{\phi}:R/Ker\ \phi\cong R’$。

环的扩张定理:设 $\overline{S}$ 和 $R$ 是两个没有公共元素的环,$\overline\phi $ 是环 $\overline S$ 到 $R$ 的单同态,则存在 $S$,与环 $R$ 同构;以及由环 $S$ 到 $R$ 的同构映射 $\phi$ ,使得 $\overline{S}$ 为 $S$ 的子环且 $\phi\mid_{\overline{S} }=\overline{\phi}$。

​ 并称 $S$ 为 $\overline{S}$ 的扩环。构造为 $S=(R-\overline{\phi}(\overline{S}))\cup \overline{S}$,$\phi(x)=\overline\phi(x)\ if\ x\in \overline{S}\ else\ x$。

素理想:$R$ 为一交换环,$P$ 为其真理想。若对任意的 $a,b\in R$,由 $ab\in P$,可推出 $a\in P\Arrowvert b\in P$。则称 $P$ 为 $R$ 的一个素理想。

极大理想:设 $R$ 是一个交换环,$M$ 是 $R$ 的真理想。若对 $R$ 的任一包含 $M$ 的理想 $N$ ,必有 $N=M\Arrowvert N=R$,则称 $M$ 为 $R$ 的一个极大理想。

(环的)特征:若对环 $R$ 有最小的正整数 $n$,使得 $\forall a\in R,na=0$,则称 $n$ 是环 $R$ 的特征;否则其特征 $Char\ R = 0$。

注意:对于环,$Ker$ 和 $Char$ 的概念都比之群不同。

设 $R$ 是有单位元的环:

​ (1) 若 $R$ 的特征为 $n>0$,则 $R$ 包含一个与 $\Z_n$ 同构的子环;

​ (2) 若为 0,则包含一个与 $\Z$ 同构的子环。

素域:不含任何真子域的域。

设 $F$ 是域:

​ (1) 若 $F$ 的特征是素数 $p$,则 $F$ 包含一个与模 $p$ 剩余类环 $\Z_p$ 同构的素域;

​ (2) 若为 0,则包含一个与 $\Q$ 同构的素域。


若多项式 $f(x)$ 的系数属于某个数域或数环,则称 $f(x)$ 为该数域或数环上的多项式。

以下总假定:环 $R$ 有单位元,并用 1 表示环 $R$ 的单位元。

未定元:设 $\overline{R}$ 是 $R$ 的扩环,$x$ 是 $\overline{R}$ 中的一个元素,若 $x$ 满足:

​ (1) $\forall r\in R,xr=rx$;

​ (2) $1x=x$;

​ (3) 对 $R$ 的任意一组不全为零的元素 ${a_i}$,$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n\ne 0$,

​ 则称 $x$ 为 $R$ 上的一个未定元

$R[x]={a_0+…+a_nx^n\mid n\ge 0,a_i\in R}$ 关于 $\overline{R}$ 的运算构成 $R$ 的一个扩环。

多项式环:设 $R$ 是一个有单位元的环,$x$ 是 $R$ 的一个未定元,称环 $R[x]$ 为 $R$ 上的以 $x$ 为未定元的一元多项式环。

对任意一个有单位元的环,一定存在其上的一个一元多项式环。下面的定理则说明环 $R$ 上的一元多项式环本质上是唯一的:

定理:每一个整环都可以扩充为一个域,且称该域 $Q$ 为整环 $D$ 的商域。通过一系列运算可知:$Q$ 的每个元素都可表为 $ab^{-1},a,b\in D,b\ne 0$ 的形式,又由 $Q$ 是域,故可记 ${a\over b}=ab^{-1}$。这样:$Q={ {a\over b}\mid a,b\in D,b\ne 0}$。

​ 构造:

  1. 构造集合 $S={(a,b)\mid a,b\in D,b\ne 0}$

  2. 定义 $S$ 上的等价关系:$\forall (a,b),(c,d) \in S$,令 $(a,b)\sim (c,d) \iff ad=bc$。

  3. 由等价关系得到商集 $F=S/\sim = {[{a\over b}]\mid a,b\in D,b\ne 0}$。(记 $S$ 中 $(a,b)$ 所在的等价类为 $[{a\over b}]={(c,d)\in S\mid (c,d)\sim (a,b)}$)

  4. 定义 $F$ 的运算并证明相关性质,使 $F$ 构成一个域: \(\forall [{a\over b}],[{c\over d}] \in F:\\ [{a\over b}]+[{c\over d}]=[{ad+bc\over bd}],\\ [{a\over b}]·[{c\over d}]=[{ac\over bd}].\)

    1. 由 $F$ 构造一个包含 $D$ 的域 $Q$:令 $\phi:D\rightarrow F, x\rightarrow [{x\over 1}]$。则 $\phi$ 为 $D$ 到 $F$ 的映射。

    证明 $\phi$ 为一个单同态,且 $D\cap F = \empty$,从而由环的扩张定理知:$\exists Q$ 为 $D$ 的扩环,及环同构 $\tilde{\phi}:Q\cong F$。由于 $F$ 为域,则 $Q$ 也是域。

约定:本节以后:$D$ 表示整环,$F$ 表示整环 $D$ 的商域,$U$ 表示 $D$ 的单位群,1, 0 分别表示 $D$ 的单位元和零元。

整除:设 $D$ 是整环,$a,b\in D$。若 $\exists c\in D\ s.t.\ a=bc$,则称 $b$ 是 $a$ 的一个因子,$b$ 整除 $a$,记作 $b\mid a$。否则记作 $b\nmid a$。

不可约元:整环 $D$ 中非零非单位且无真因子的元素称为 $D$ 的不可约元。

素元:设 $p$ 是 $D$ 的一个非零非单位的元素,若 $\forall a,b\in D$,由 $p\mid ab$ 可以推出 $p\mid a \Arrowvert p\mid b$,则称 $p$ 为 $D$ 的一个素元。

范数:设 $d\ne 1,0$ 且为无平方因子的整数,对任意的 $a+b\sqrt{d}\in Q[\sqrt{d}]$,称 $\mathcal{N}(a+b\sqrt{d})=\arrowvert a^2-db^2\arrowvert$。

设 $D$ 为一整环,$a$ 是 $D$ 的一个非零非单位的元素:

​ (1) 如果存在有限多个不可约元 ${p_i}$ 使得 $a=p_1…p_s$,则称 $a$ 有不可约分解,并称上述分解式为 $a$ 的一个不可约分解。

​ (2) 如果 $a$ 有不可约分解,并且 $a$ 的不可约分解在相伴的意义下是唯一的,即:若 $a$ 有两个不可约分解 $a=p_1…p_s=q_1…q_t$,则 $s=t$,且适当交换次序,有 $p_i\sim q_i,i=1,2,…,s$,则称 $a$ 有唯一分解

唯一分解整环(UFD):设 $D$ 是一个整环,若 $D$ 中每一个非零非单位的元素都有唯一分解,则称 $D$ 为唯一分解整环

真因子链:设 $D$ 是整环,$a_1,a_2,…,a_n,…$ 是 $D$ 中的一列元素(可以无限多个)。若对任意的 $i>1$,$a_i$ 为 $a_{i-1}$ 的真因子,则称上述元素列为 $D$ 的一个真因子链

定理:在唯一分解整环中,每一个真因子链都是有限的。

定理:整环 $D$ 是唯一分解整环充要条件是:

​ (1) $D$ 中的每一个真因子链都有限; (2) $D$ 的每一个不可约元都是素元。

标准分解式:设 $D$ 是唯一分解整环,$a$ 是 $D$ 的一个非零非单位的元素,则 $a$ 有唯一分解。设 $a$ 的所有互不相伴的不可约因子为:$p_1,p_2,…,p_s$。则对 $a$ 的任一不可约因子 $p$,有 $p_i$ 使 $p\sim p_i$。从而 $a$ 的分解式可表示为:$a=\epsilon p_1^{r_1}…p_s^{r_s}$,其中 $\epsilon$ 为 $D$ 的单位,$r_1,…,r_s\in \N$。称该式为 $a$ 的标准分解式

最大公因子:设 $D$ 是一个整环,$a,b,d\in D$,若 $d$ 满足:

​ (1) $d\mid a$, $d\mid b$,即 $d$ 是 $a,b$ 之公因子; (2) 如果 $c$ 是 $a$ 和 $b$ 的任一公因子,则有 $c\mid d$,则称 $d$ 是 $a,b$ 的一个最大公因子,记作 $d=gcd(a,b)/(a,b)$。

主理想整环(PID):设 $D$ 是一个整环,如果 $D$ 的每一个理想都是主理想,则称 $D$ 为主理想整环

欧几里得整环(ED):设 $D$ 是整环。如果存在映射 $\phi: D-{0}\rightarrow \N\cup{0}$,使对 $\forall a,b\in D,b\ne 0$,$\exists q,r\in D$,使 $a=bq+r$,其中 $r=0$ 或 $\phi(r)<\phi(b)$,则称 $D$ 为一个欧几里得整环;常称 $\phi$ 为欧式映射。

向量空间:设 $V$ 是一个带有加法运算的非空集合,$F$ 是一个域。如果 $V$ 关于加法运算构成一个交换群,并且对每个 $k\in F,v\in V$,在 $V$ 中可唯一地确定一个元素 $kv$(称 $k,v$ 的标量乘法),使得对 $\forall k,l\in F,u,v\in V$,满足:$(1) (kl)v=k(lv); (2) (k+l)v=kv+lv; (3) k(u+v)=ku+kv; (4) 1v=v$,则称 $V$ 为域 $F$ 上的一个向量空间,空间中的元素称为向量,域中的元素称为标量。域 $F$ 称为向量空间的基域。

子空间:设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间,$U$ 是 $V$ 的非空子集。如果 $U$ 关于 $V$ 的运算也构成 $F$ 上的向量空间,则称 $U$ 为 $V$ 的子空间

:设 $V$ 是 $F$ 上的向量空间,$B$ 是 $V$ 的一个非空子集。如果 $B$ 中任一有限子集都在 $F$ 上线性无关,且 $B$ 张成 $V$,则称 $B$ 为 $V$ 的

以有限多个元素为基的空间(包括零空间)称为有限维向量空间,否则称为无限维向量空间

维数:如果一个向量空间 $V$ 具有一个含 $n$ 个元素的基,则称 $V$ 的维数是 $n$,零空间 ${0}$ 称为是由空集构成的,并规定其维数为 0;无限维向量空间的维数规定为无限大 $+\infin$。域 $F$ 上向量空间 $V$ 的维数记作 $dim_FV$。


扩域:若对域 $F,E$ ,$F\subseteq E$,且 $F$ 中的运算就是 $E$ 的运算在 $F$ 上的限制,则称 $E$ 为 域 $F$ 的扩域,而称 $F$ 为 $E$ 的子域。

​ 由前节知,任一域都是某一素域的扩域,且从同构以见,素域仅有 $\Q,\Z_p$ 两类,故理论上,掌握它们的所有扩域,即掌握了所有的域。

​ $F(S)$:$E$ 的添加集合 $S$ 于 $F$ 的子域。(是 $E$ 的包含 $F,S$ 的最小子域)

有限扩张:设 $E$ 是 $F$ 的扩域,若 $E$ 作为 $F$ 上的向量空间是有限维的,则称 $E$ 是 $F$ 的有限扩域有限扩张;否则称 $E$ 是 $F$ 的无限扩张。$E$ 在 $F$ 上的维数 $dim_FE$ 称为 $E$ 关于 $F$ 的扩张次数,记作 $[E:F]$。

定理:设 $K$ 是域 $E$ 的有限扩域,$E$ 是域 $F$ 的有限扩域,则 $K$ 是域 $F$ 的有限扩域,且 $[K:F]=[K:E]·[E:F]$。

​ 进一步可得:$E_1\subseteq…\subseteq E_s$ 为一扩域链,则 $[E_s:E_1]=[E_s:E_{s-1} ]…[E_2:E_1]$。

域论基本定理:设 $F$ 是域,$f(x)$ 是 $F[x]$ 中次数大于零的多项式,那么存在 $F$ 的扩域,使得 $f(x)$ 在此扩域中有根。


定义:设 $E$ 为域 $F$ 的扩域,$a\in E$,若存在 $F$ 上的非零多项式 $f(x)$,使得 $f(a)=0$,则称 $a$ 为 $F$ 上的一个代数元;否则称之为超越元

​ 如果 $E$ 上每个元素都是代数元,则称 $E$ 是 $F$ 的代数扩张;否则称超越扩张

​ 有理数域上的代数元称为代数数,否则称为超越数

如何区分,定理:设 $E$ 是域 $F$ 的扩域,$a\in E$。

知,上述所言 $p(x)$ 在相伴意义下是由域 $F$ 上的代数元 $a$ 唯一确定的,故要求 $p(x)$ 的首相系数为 1,则这样的不可约多项式 $p(x)$ 必然唯一。这个唯一的首一不可约多项式 $p(x)$ 称为元素 $a$ 在域 $F$ 上的极小多项式,记作 $m_a(x)$,并称 $m_a(x)$ 的次数为 $a$ 在 $F$ 上的次数,记作 $deg(a)$。

推论:设 $a$ 是 $F$ 上的代数元,$p(x)$ 是 $F$ 上的一个首一多项式,则下述条件等价:

定理:设 $a$ 是 $F$ 上的代数元,$p(x)$ 是 $a$ 在 $F$ 上的极小多项式,$deg(p(x))=n$,则:

​ (1) $F(a)=F[a]$; (2) $F(a)$ 是 $F$ 的有限扩张,且 $[F(a):F]=n$; (3) $F(a)$ 中的每一个元素都能唯一地表示为 $c_0+c_1a+…+c_{n-1}a^{n-1}$ 的形式,其中 $c_0,…,c_{n-1}\in F$。

​ 推论:设 $a_1,…,a_s$ 都是 $F$ 上的代数元,则:

​ (1) $F(a_1,…,a_s) = F[a_1,…,a_s]$;

​ (2) $F(a_1,…,a_s)$ 是 $F$ 的有限扩张,且 $[F(a_1,…,a_s):F]\le [F(a_1):F]…[F(a_s):F]$。

定理:如果 $E$ 是 $F$ 的有限扩域,则 $E$ 是 $F$ 的代数扩张。

定理:设 $a,a_1,…,a_s$ 都是 $F$ 上的代数元,则 $F(a)$ 与 $F(a_1,…,a_s)$ 都是 $F$ 上的代数扩张。

定理:设 $K$ 是 $E$ 的代数扩张,$E$ 是 $F$ 的代数扩张,则 $K$ 是 $F$ 的代数扩张。

代数闭域:域 $F$:以下条件等价

代数闭包:设 $L\mid F$ 为代数扩张, 且 $L$ 为代数闭域, 则称 $L$ 为 $F$ 的代数闭包

分裂域:这一节没看,好累。

这里是 定理 5.4.5

域 $F$ 上的多项式 $f(x)$ 在 $F$ 的某个扩域 $E$ 上有重根的充要条件是 $f(x)$ 和 $f’(x)$ 在 $F[x]$ 中有正次数的公因式。

定理:设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的不可约多项式。若 $F$ 的特征为 0,那么 $f(x)$ 无重根。若 $F$ 的特征为 $p\ne 0$,那么仅当存在 $F $ 上的某个多项式 $g(x)$,使得 $f(x)=g(x^p)$ 时 $f(x)$ 有重根。

完备域:若域 $F$ 的特征为 0 或 $p$ 且 $F^p={a^p\mid a\in F}=F$,则称 $F$ 为完备域

定理:如果 $f(x)$ 是完备域上的不可约多项式,那么 $f(x)$ 没有重根。

定理:设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的不可约多项式,$E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域,则 $f(x)$ 在 $E$ 中的所有根都有相同的。重数。

施泰尼茨定理:设 $F$ 是特征为 0 的域,$a,b$ 是 $F$ 上的代数元,则 $\exists c\in F(a,b)$ 使得 $F(a,b)=F(c)$。

特征 0 的域的任何有限扩域都是单扩域。

一个具有性质 $E=F(a)$ 的元素 $a$ 称为 $E$ 的本原元


有限域的阶是一个素数的方幂。

对每个素数 $p$ 和每个正整数 $n$,在同构的意义下存在唯一的 $p^n$ 阶的有限域。

伽罗瓦域:对每个素数幂 $p^n$ 仅存在一个 $p^n$ 阶的域,所以可将此域记作 $GF(p^n)$。

​ $GF(p^n)$ 作为加法群同构于 $\Z_p \oplus … \oplus \Z_p$,$GF(p^n)$ 的全体非零元的集合关于乘法构成的群是一个 $p^n-1$ 阶的循环群。

​ 有限域 $E$ 是它的素子域的一个单扩域。

​ $[GF(p^n):GF(p)]=n$

​ 设 $a$ 是 $GF(p^n)$ 的非零元乘法群的生成元,则 $a$ 是 $GF(p)$ 上的 $n$ 次代数元。

定理:对 $n$ 的每个正因数 $m$,$GF(p^n)$ 中存在唯一的 $p^m$ 阶的子域,并且这些是 $GF(p^n)$ 中仅有的子域。